Математическое моделирование системных элементов

группами, которые назовем внешние факторы целостности и внут-ренние.

 Внешние факторы   1. Низкий уровень связности (число взаимосвязей) элемента  с ок-ружающей его средой  , т.е. минимальная внешняя связность элемента . Обозначив полную совокупность внешних связей элемента  через , рассматриваемый фактор запишем как условие минимизации:  ® Min.

          2. Низкий уровень взаимодействия  элемента   с окружающей его средой

,т.е. слабое взаимодействие, определяемое минимальной совокупной интенсивностью обмена сигналами   ® Min.

Внутренние факторы    1. Высокая степень связности друг с другом частей, из которых состоит элемент , т.е. суммарная внутренняя связность  максимальна  ®Max.

          2. Высокая интенсивность  взаимодействия частей, из которых состоит элемент . Иными словами, имеет место сильное внутреннее взаимодействие  ®Max.

                                                      

Оценка целостности элемента   Перечисленные выше факторы могут быть использова-

ны для оценки целостности системного элемента . Такая оценка, в определенной мере, характеризует степень "прочности" элемента по отношению к окружающей его

среде .

          Введем понятие "прочность" как показатель внутренней целостности элемента и

определим его через суммарную композицию показателей взаимосвязей  и взаимо-

действий  всех частей, из которых состоит элемент  . Прочность элемента при

этом определяется выражением

                                                                                                                        (1)

          Для обобщенной оценки внешних взаимосвязей  и взаимодействий  элемента

 с окружающей его средой  введем показатель "сцепленности" и определим его как композицию показателей  и , т.е.

                                                                                                                         (2)

      

          Полученные показатели прочности (1) и сцепленности (2) используем для оценки

 целостности   элемента . Такая оценка определяется отношением вида

                                                                                                                        (3)

т.е. как отношение прочности   элемента   к его сцепленности  со средой .

         С учетом (1) и (2) выражение (3) принимает вид

                                                                                                                                (4)   

Уровни целостности элемента    Анализ выражений (3) и (4) дает возможность ранжи-ровать элементы по уровням целостности и качественно определить их устойчи-вость по отношению к окружающей среде.

       

          Случай 1. Если значение показателя прочности   элемента   превосходит зна-

чение показателя сцепленности  элемента   с его средой , т.е.  > , а как

следствие и  > 1, то элемент  по своим целостным свойствам устойчив. В рассмат-

риваемом случае имеет место супераддитивная целостность.

          Случай 2. Пусть значения показателей прочности   и сцепленности  равны,

т.е.  = . В этом случае показатель целостности  = 1. Тогда элемент  по сво-

им целостным свойствам находится на грани устойчивости. Такой уровень целостности элемента  определим как аддитивная целостность.

          Случай 3. Наконец, пусть  значения показателя прочности   элемента  ниже значений показателя сцепленности  элемента   с его средой . В рассматривае-

мом случае условия записываются в виде   и   по сво-

им целостным свойствам не устойчив к интегральному вовлечению (растворению) в окружающей среде . Рассматриваемый уровень целостности элемента  определим

как субаддитивная целостность.

          Таким образом, введенный показатель  может использоваться как критерий

оценки качества целостных свойств элемента , а также для сравнения раэличных элементов  (n = 1, 2, ... , N) по критерию целостности.

                                2.4. Метод концептуального метамоделирования

          Концептуальное метамоделирование ( КММ ) основано на использовании индук-

тивно-дедуктивного подхода. Создание КММ осуществляется на основе индуктивного подхода ( от конкретного к абстрактному, от частного к общему ) посредством обобще-

ния, концептуализации и формализации.

          Использование КММ предполагает переходы от общего к частному, от абстракт-

ного к конкретному на основе интерпретаций.

          КММ функционирования системного элемента  предполагает описание динами-

ки поведения на заданном уровне абстракции с точки зрения его взаимодействия с окру-

жающей средой, т.е. внешнего поведения. Математическое описание такого элемента должно отражать последовательность причинно-следственных связей типа "вход - вы-

ход" с заданной временной направленностью из прошлого в будущее. КММ функциони-

рования системного элемента  должна учитывать базовые концепции и существенные факторы, к числу которых, в первую очередь, следует отнести следующие.

          1. Элемент , как компонент системы , связан и взаимодействует с другими компонентами этой системы.

          2. Компоненты  системы  воздействуют на  элемент  посредст-

вом входных сигналов, в общем случае, обозначаемых векторным множеством .

          3. Элемент  может выдавать в окружающую его среду  выходные сигна-лы, обозначаемые векторным множеством .

          4. Функционирование системного элемента  (  ) происходит во време-

ни с заданной временной направленностью от прошлого к будущему:    где 

 

          5. Процесс функционирования элемента  представляется в форме отображения  входного векторного множества   в выходное - , т.е. по схеме "вход - выход" и представляется записью вида

                                                             .

          6. Структура и свойства отображения  при моделировании на основе метода прямых аналогий определяется внутренними свойствами элемента , во всех остальных случаях - инвариантны и связаны феноменологически.

          7. Совокупность существенных внутренних свойств элемента , представ-ляется в модели "срезом" их значений для фиксированного момента времени , при

условии фиксированного "среза" значений входных воздействий   и опреде-

ляется как внутреннее состояние   элемента .

          8. Внутренние свойства элемента  характеризуются вектором параметров

, которые назовем функциональными ( j - параметры ).

          Концептуальное математическое описание системного  элемента  (  )

с учетом изложенных выше положений, представим кортежем

                                                       .                                                ( 1 )

Такое описание определим как концептуальную метамодель - КММ функционирования системного элемента .

             2.5. Стратифицированный анализ и описание КММ системного элемента

          Концептуальные метамодели элемента, основанные на записи ( 1 ), могут образо-

вывать некоторые иерархии. Уровни таких иерархий определяются степенью ( этапами ) конкретизации свойств элемента. Ранжирование КММ ( 1 )  по шкале "Абстрактное - Конкретное" на основе метода стратификации, следовательно, приводит к иерархичес-

кой дедуктивной системе концептуальных метамоделей. Такая система может быть ис-

пользована для математического моделирования конкретных элементов как некоторый исходный базовый инвариант, интерпретируемый в конкретную  математическую мо-

дель.

         В зависимости от степени конкретизации, сформируем дедуктивную систему, вклю-чающую следующие уровни КММ элемента :

          КММ элемента  на теоретико-системном уровне ( ТСУ );

          КММ элемента  на уровне непараметрической статики ( УНС );

          КММ элемента  на уровне параметрической статики ( УПС );

          КММ элемента  на уровне непараметрической динамики ( УНД );

          КММ элемента  на уровне параметрической динамики ( УПД ).

    

          Рассмотрим более подробно КММ на каждом из перечисленных уровней. 

                                               КММ теоретико-системного уровня

          Наиболее общую и абстрактную форму описания функционирования системного

элемента  дает концептуальная метамодель теоретико-системного уровня ( ТСУ ). Это описание включает векторное множество входных воздействий на элемент

                                                      

и векторное множество выходных реакций ( откликов ) элемента

                                                       .

Кроме того, на рассматриваемом уровне абстракции учитывается факт связности век-

торного множества  с соответствующим векторным множеством  посредством отображения "j". Однако, отображение "j" не указывает каким образом рассматривае-

мые множества связаны.

          Таким образом, КММ теоретико-системного уровня задаются тройкой

                                                         .                                                         ( 2 )

                                      КММ уровня непараметрической статики

          Второй уровень представления КММ включает в рассмотрение отображение , определяющее правила преобразования входов  в выходы , т.е. что необходимо сделать, чтобы при условии  получить , адекватное целевому функционированию  элемента . В общем случае  - отображение может быть представлено скалярной или векторной функцией, а также функционалом или оператором. Концептуальная метамо-

дель уровня непараметрической статики, следовательно, представляется кортежем вида

                                                         .                                                        ( 3 )

Раскрытие структуры преобразования вида  является основной задачей КММ уровня  . Рассмотрим в качестве иллюстрации функциональное описание элемента , представленное скалярной функцией , причем: .

          Функционирование  элемента  (  ) на УНС описывается как отобра-

жение . Это отображение называется функцией, если оно однозначно. Ус-

ловия однозначности определяются следующим образом. Пусть заданы пары значений

сигналов "вход - выход":

                                                                                                                            ( 4 ) 

Если из условия (  ), следует, что (  ), то отображе-

ние  однозначно. Значение величины  в любой из пар  называется функ-

цией от данного  . Общий вид записи функции  позволяет дать формальное

определение функции элемента  в скалярной форме представления

                         

                                                                                             ( 5 )

Таким образом, КММ ( 3 ) проинтерпретирована в КММ того же уровня, но в скаляр-

ной форме функционального представления. Отметим, что богатство концептуальных метамоделей   функционирования системного  элемента  (  ) на уровне непараметрической статики определяется многообразием ее интерпретаций на матема-

тическом, логическом или логико-математическом языках описания ( представления )

 - отображения.

                                        КММ уровни параметрической статики

          Дальнейшая конкретизация КММ функционирования системного элемента  

осуществляется за счет включения в рассмотрение функциональных параметров , определяющих статические режимы. Для элемента  рассматриваются три группы параметров

                                                                                                                     ( 6 )

  

где  - совокупность параметров {  } входных воздействий

 - совокупность параметров {  } выходных реакций ( откликов )

 - совокупность параметров {  } отображения .

Перечни ( номенклатура ) параметров   и их значений определяются для каждого ти-

па конкретной модели  . Для  - отображения, по аналогии со структурными моде- лями, вводится понятие конфигурации. С учетом параметрического описания и интер-

претаций КММ задается четверкой

                                        

                                                                                                           ( 7 )

         

                                        КММ уровня непараметрической динамики

          Следующий, четвертый уровень конкретизации КММ функционирования систем-

ного элемента