Восстановление эталона циклических сигналов на основе использования хаусдорфовой метрики в фазовом пространстве координат
Генератор циклических последовательностей. Рассмотрим достаточно простой алгоритм генерации дискретных циклических последовательностей по эталонам. Пусть каждый из эталонов , () представлен конечным числом дискретных значений , зафиксированных с постоянным шагом квантования по времени. Зададим общее число фрагментов каждого эталона и номера точек , которые определяют границы -го и -го фрагмента -го эталона.
При таких исходных данных процедура генерации циклической последовательности сводится к следующим шагам.
Шаг 1. Задаем общее число циклов генерируемой последовательности.
Шаг 2. Определяем число циклов, порождаемых -м эталоном, по формуле , где здесь и далее -операция округления до целого числа .
Шаг 3. Выбираем номер эталона, порождающего -й цикл (), по значению реализации целочисленной случайной величины , распределенной на интервале [1,G] т.е. =.
Шаг 4. Если , то повторяем шаг 3.
Шаг 5. Определяем число точек -го фрагмента -го цикла по формуле
,
где - реализация случайной величины , которая с нулевым математическим ожиданием распределена на интервале .
Шаг 6. По дискретным значениям -го фрагмента -го эталона в узлах любым из методов интерполяции вычисляем значения генерируемой последовательности в точках.
Шаг 7. Модифицируем каждое вычисленное значение на основе мультипликативной процедуры , где - реализация случайной величины , которая с нулевым математическим ожиданием распределена на интервале .
Шаг 8. Если , то возвращаемся к шагу 5.
Шаг 9. Присваиваем .
Шаг 10. Если , то возвращаемся к шагу 3.
Результаты моделирования подтверждают эффективность рассмотренного алгоритма для имитации реальных циклических сигналов (рис. 1).
Рис. 1. ЭКГ- сигнал, порожденный моделью (6): по одному эталону (а); по двум эталонам (б)
Метод оценки эталона по искаженной реализации. Пусть циклический сигнал (6) представлен последовательностью дискретных значений, наблюдаемых в течение циклов. Предположим, что для каждого -го значения имеется оценка производной . Выполнив нормировку
,
сформируем множество точек, принадлежащих траектории наблюдаемого сигнала в двумерном нормированном фазовом пространстве .
Пусть нам известны номера точек , соответствующие началам
каждого -го цикла ( алгоритм определения номеров в данной статье не рассматривается). Тогда множество можно разбить на подмножеств нормированных векторов , концы которых лежат на фазовых траекториях отдельных циклов.
Будем оценивать расстояние между любыми двумя подмножествами и , хаусдорфовой метрикой [11]
, (8)
где - евклидово расстояние между точками и .
Назовем опорным циклом подмножество векторов , которое имеет минимальное суммарное расстояние (8) с остальными подмножествами
, (9)
и будем оценивать эталон (средний цикл) путем усреднения точек различных траекторий, расположенных в окрестности точек опорного цикла.
С этой целью проведем селекцию траекторий, подлежащих усреднению, определив
подмножество тех траекторий, хаусдорфово расстояние которых до опорной меньше заданной величины , т.е. . Для улучшения оценки представим опорный цикл и остальные циклы последовательностью расширенных векторов , которые, помимо нормированных фазовых координат , содержат дополнительную компоненту . Величина вычисляется в каждой -й точке -й траектории по формуле
,
где - номер первой точки -й траектории, состоящей из точек.
Введение дополнительной компоненты позволяет при усреднении точек оценивать их близость не только с точки зрения значений фазовых координат , но и с точки зрения синхронности во времени. Для этого предлагается определять евклидово расстояние между расширенными векторами опорной траектории и расширенными векторами остальных траекторий , а для оценки последовательности точек