Апология Бесконечности
Станишевский Олег Борисович
Исследование бесконечности никогда не закончится. познание бесконечности не есть процесс непрерывного накопления знаний о ней, это, скорее, поэтапный прерывно-исторический процесс. На каждом этапе ее познания раскрываются все новые и новые ее стороны. Бесконечность является фундаментальной гносеологической и онтологической константой. Первым знанием о ней был апейрон Анаксимандра (VI в. до н.э.), означавший бесконечное сущее. Представитель позднего пифагореизма Архит Тарентский (IV в. до н.э.) так доказывал бесконечность мироздания: "Поместившись на самом крае Вселенной ... был бы я в состоянии протянуть свою руку или палку дальше за пределы этого края или нет?" [1, с. 240]. Аристотель, как известно, отрицал актуальную бесконечность. Он и ввел понятия актуальной и потенциальной бесконечности. Правда, логически не совсем ясно – как можно говорить о потенциальной бесконечности при отсутствии бесконечности как таковой, то есть актуальной бесконечности. Затем христианство посчитало, что оно решило проблему бесконечности, придав ее в качестве неотъемлемого атрибута Богу. потом математика в лице дифференциального и интегрального исчисления взяла бесконечность на свое вооружение. Поскольку бесконечность не имела строгого и четкого определения, то в математике начали появляться связанные с ней противоречия. Так, например, бесконечные ряды в математике разделили на сходящиеся и расходящиеся, было также узаконено положение о том, что линии состоят из точек, плоскости – из прямых и т.д. До Георга Кантора ничего принципиально нового в понимании бесконечности не было. Заслугой Кантора как раз и является открытие им бесконечной иерархии алефов (алефы – это бесконечные кардинальные числа, или мощности бесконечных множеств). Им была создана теория бесконечных множеств. Вполне закономерным было то, что в ней начали обнаруживаться противоречия. Наиболее известными из них являются парадоксы Рассела. О парадоксах и противоречиях существует достаточно обширная литература. Их исследованию посвящены, например, работы [2], [3], [4], [5]. Однако противоречия и парадоксы в них не разрешаются, а обсуждаются. Правда, Бурова в [4] справедливо подчеркивает, что прямая не состоит из точек, плоскость не состоит из прямых, а то, что в математике считается, что прямая состоит из точек, является заблуждением. Одним словом, противоречия и парадоксы в теории бесконечных множеств сохраняются и поныне. За не менее чем столетнее существование теории (а точнее – теорий) бесконечных множеств в понимании бесконечности мало что изменилось. Даже появление нестандартного анализа (см. о нем в [6]) не внесло полной ясности в понимание бесконечности. Но несмотря на противоречия, математика не собирается отказываться от "канторовского рая", то есть от теории бесконечных множеств (о бесконечном и проблемах бесконечности в доступном изложении см. книжки: "В поисках бесконечности", "Рассказы о множествах" – автор Н.Я. Виленкин; "Неисчерпаемость бесконечности" – автор Ф.Ю. Зигель; "Игра с бесконечностью" – автор венгерская математик Р. Петер).
В последнее время появились публикации, направленные на ниспровержение теории бесконечных множеств и негативно оценивающие самого Г. Кантора и его учение. Эти антиканторовские выступления не беспочвенны и носят весьма решительный и бескомпромиссный характер. Мы здесь покажем несостоятельность подобной антиканторовской тенденции.
Речь идет о публикациях и выступлениях А.А. Зенкина [7], [8], [9]. Вот как он оценивает свой результат [8, с. 167]: "Таким образом, впервые доказано великое интуитивное провидение (и предостережение!) Аристотеля, Лейбница, Локка, Декарта, Спинозы, Канта, Гаусса, Коши, Кронекера, Эрмита, Пуанкаре, Брауэра, Витгенштейна, Вейля, Лузина и многих других выдающихся математиков и философов о том, что "актуальная бесконечность" является внутренне противоречивым понятием и потому его использование в математике - недопустимо". Учение же Кантора объявляется вредным (там же): «именно теорема II Кантора всегда была и остается сегодня единственным(!) основанием для, поистине, вавилонского столпотворения несчетных ординалов и недостижимых кардиналов современной метаматематики: уберите теорему II Кантора, и весь этот блистательный супертрансфинитный "вавилон" рассыпется единовременно, поскольку самый разговор о существовании бесконечных множеств, различающихся по своей мощности, будет в этом случае выглядеть всего лишь "трансфинитной претензией на пустое глубокомыслие"» и "любопытным патологическим казусом в истории математики, от которого грядущие поколения придут в ужас". подобных мест с негативной оценкой Кантора и его учения в этих статьях весьма достаточно.
На чем основывается такая отрицательная оценка теории бесконечных множеств? Основывается она на невозможности доказать диагональным методом, да и всеми другими методами, существование бесконечных множеств, мощность которых строго больше мощности начального бесконечного множества, или коротко – отношение "2M>M" для бесконечного множества M. Сущность этой невозможности заключается в следующем. По предполагаемому пересчету нового множества 2M строят новый, "диагональный", элемент, который никаким образом не может содержаться в предполагаемом пересчете. Кантор и все его последователи (в их числе и наши известные математики П.С. Александров, А.А. Мальцев) из этого заключают, что новое множество нельзя пересчитать с помощью исходного множества M, которым, например, может быть множество натуральных чисел. Однако вся известная теория бесконечных множеств основывается на аксиоме бесконечности Дедекинда: "множество является бесконечным, если и только если оно имеет собственное подмножество, в которое взаимно однозначно отображается данное множество" [10, Т.1, с. 455]. поэтому, добавляя к любому бесконечному множеству один новый элемент, мы ничего не меняем – мощность данного множества не изменится. Следовательно, диагональный метод не должен заканчиваться обнаружением элемента, не входящего в предполагаемый пересчет множества 2M, а должен быть продолжен включением "диагонального" элемента в предполагаемый пересчет и соответственно получением нового предполагаемого пересчета, который уже будет содержать и этот "диагональный" элемент. Но затем может быть получен следующий "диагональный" элемент и эта процедура может продолжаться бесконечно, что и означает невозможность доказать несчетность множества 2M. Это, в свою очередь, означает не что иное, как невозможность построения канторовской иерархии алефов, из чего Зенкин и заключает о несостоятельности бесконечности и канторовской теории множеств.
Но с таким заключением нельзя согласиться по двум причинам. Во-первых, отрицание бесконечности и канторовской теории множеств есть просто-напросто крайний агностицизм. Если согласиться с такой точкой зрения, то из математики надо будет выбросить многие интереснейшие и важнейшие разделы. Потеряем, если можно так сказать, бесконечно много, а найдем бесконечно мало. Во-вторых, концептуальные противоречия из теории множеств можно устранить [11]. Мы здесь кратко остановимся на устранении только тех противоречий, которые имеют отношение к разбираемому здесь противоречию между принятым в теории множеств определением бесконечного множества и диагональным методом Кантора.
Противоречия теории множеств почему-то принято называть парадоксами. Наверное, с легкой руки Б. Рассела. И еще потому, наверное, что парадоксы относят к чему-то непознанному и скрытому и поэтому их существование в теориях считают естественным. Но, в конце концов, парадоксы и противоречия должны быть разрешены и устранены из теории. Поскольку мы здесь защищаем право бесконечности на ее существование, то и разберем мы здесь только два концептуальных противоречия, имеющих непосредственное отношение к этому вопросу, хотя, конечно, концептуальных противоречий в теории множеств значительно больше. Первое из них является фундаментальным и представляет собой методологический принцип всей теории бесконечных множеств. Это – принцип "часть может быть равна целому". Второе концептуальное противоречие заключается в фактическом отсутствии определения начальной актуальной бесконечности. Рассмотрим эти противоречия по порядку.
На принципе "часть может быть равна целому" как на незыблемом фундаменте покоится аксиома бесконечности Дедекинда, эквивалентная другим определениям бесконечности (например, в книге П.С. Александрова [12, с. 21] аксиома Дедекинда доказывается как теорема). Приведем часть тех противоречий теории множеств, которые порождаются этим принципом. Одним из известных парадоксов является парадокс с расходящимися рядами. Например, знакочередующийся ряд S=1-1+1-1+... в зависимости от группировки его членов может иметь любое значение суммы S от 0,±1,±2,... до ± ∞. И все потому, что при перегруппировке членов ряда количество отрицательных и положительных членов на основании принципа "часть может быть равна целому" может меняться самым произвольным образом. Говорят также, что подмножество четных, или нечетных, чисел натурального ряда эквивалентно всему натуральному ряду. Такой же парадоксальной является и арифметика над трансфинитными числами, в которой действуют другие, чем в конечной арифметике, правила и которые также основываются на принципе "часть может быть равна целому". Например, в трансфинитной арифметике имеют место следующие соотношения: n+ω=ω≠ω+n, 2×ω≠ω+ω=ω×2, ω=n×ω≠ω×n и др. Есть еще правила выполнения арифметических операций над кардинальными числами, отличающиеся и от правил конечной арифметики, и от правил трансфинитной арифметики. Так,
определяющее количество элементов в бесконечном множестве. А такое доказанное Кантором положение, как "число точек отрезка равно числу точек квадрата", настолько сильно повлияло на математику, что заставило в топологии отказаться от общепринятого во всем естествознании параметрического определения размерности пространств и принять на вооружение индуктивное определение размерности, которое определяет континуумы любых размерностей как множества. Все эти парадоксы никак не согласуются с классической логикой. в теории множеств с классической логикой согласуется как раз только одно – диагональный метод Кантора, поскольку в нем не задействовано противоречивое определение бесконечного множества на основе принципа "часть может быть равна целому". Поэтому если и есть основания говорить об ошибке Георга Кантора, то не относительно диагонального метода [7], а относительно введенного им в теорию множеств принципа "часть может быть равна целому", который находится в вопиющем противоречии с классической логикой. В [11] предложено отказаться в теории бесконечных множеств от принципа "часть может быть равна целому" и соответственно от определения бесконечного множества по Дедекинду. В результате в диагональном методе доказательства отношения 2ω>ω уже нельзя будет добавить в предполагаемый пересчет множества 2ω новый, "диагональный", элемент, так как это добавление согласно принципу классической логики "часть не может быть равна целому" изменит предполагаемый пересчет и превратит его в новое множество, неэквивалентное предполагаемому пересчету. Диагональный метод Кантора, таким образом, останется непоколебимым. Уйдут также из теории множеств и выше перечисленные противоречия, а в бесконечном будут действовать те же законы классической логики, что и в конечной области.
Интересно, конечно, задаться вопросом: как и почему крупные математики доказывали и передоказывали теорему Кантора и не замечали противоречия между определением бесконечного множества и диагональным методом? Нам кажется, чтопри ее доказательстве, в силу грандиозности последствий теоремы "2M>M", на время или "забывали" о принципе "часть может быть равна целому", или подсознательно подчинялись принципу "часть не может быть равна целому" и потому останавливались на том самом месте диагонального метода, где надо было проверить возможность добавления нового элемента к проверяемому множеству и повторного построения другого нового элемента и т.д. скорее всего, этим и можно объяснить ситуацию с диагональным методом. Здесь уместно вспомнить Б. Рассела и спросить: почему Рассел вместо того, чтобы разобраться в сущности оснований теории множеств и их противоречий, выставлял на передний план следствия из обнаруженных им парадоксов? Почему? Нам кажется потому, что критиковать и разрушать всегда легче, чем созидать, что деконструировать, ломать легче, чем конструировать. Аналогичным образом обстоят дела и в случае последних антиканторовских выступлений А.А. Зенкина.
В его статье [9] на основе ошибочных умозаключений также дискредитируется канторовская теория множеств. На наш взгляд, в ней имеет место самое простое смешение конечного с бесконечным [9 с.80-81]. Действительно, там рассматриваются две знаковые конструкции (5) и (6). Знаковая конструкция (5) – это соответствующая запись натурального ряда:
1, 2, 3, ..., w, w+1, w+2, w+3, ...,
где символ w есть произвольное конечное натуральное число. Соответственно многоточие между натуральным числом 3 и натуральным числом w означает, что на его месте находится w-4 натуральных чисел, то есть вполне определенное конечное количество w-4 натуральных чисел. Знаковая конструкция (6) – это, как говорит автор, "знаменитый канторовский ряд трансфинитных чисел":
1, 2, 3, ..., ω, ω+1, ω+2, ω+3, ..., ω×2, ω×2+1, ω×2+2, ω×2+3, ...
(На самом деле это не ряд трансфинитных чисел, а бесконечный ряд порядковых чисел. порядковые же числа включают в себя и конечные порядковые числа, и бесконечные, то есть трансфинитные, числа.) Здесь символ ω означает наименьшее трансфинитное число. Соответственно многоточия между числами 3 и ω, с одной стороны, и между числами ω+3 и ω×2, с другой стороны, говорят о том, что на месте первого многоточия находится бесконечное количество конечных натуральных чисел 4, 5, ..., а на месте второго многоточия находится такое же бесконечное количество трансфинитных чисел ω+4,ω+5,ω+6, ... сравнивая чисто визуально конструкции (5) и (6), автор делает следующий вывод (там же с.81): "таким образом мы фактически построили (доказали построением) 1–1-соответствие между множеством трансфинитных целых (порядковых) чисел Кантора (6) и множеством всех конечных натуральных чисел с сохранением порядка". Как можно установить (1–1)-соответствие, то есть взаимно однозначное соответствие, между множеством конечных чисел (конструкция (5)) и множеством порядковых чисел, включающих в себя конечные порядковые числа и трансфинитные числа (конструкция (6)), неизвестно никому. Поэтому правильно об этом сказано в комментарии к данной статье. А установить это соответствие невозможно потому, что трансфинитные числа конструкции (6) – это порядковые типы счетных вполне упорядоченных множеств, которые составляют несчетное множество [12, с. 69-70]. Автор же вопреки этому утверждает на с.81, что "Хорошо известно, что канторовский ряд (6) ... является счетным множеством", чего на самом деле нет [12, с. 69-70]. А все дело в том, что автор всеми силами пытается ниспровергнуть бесконечность и потому отождествляет конечное с бесконечным посредством надуманного им (1–1)-соответствия между конструкциями (5) и (6). Причем, автор неточен и в том, что конструкцию (6) называет "множеством трансфинитных чисел", хотя в нее входят и конечные числа (они что – тоже трансфинитные числа?!). Надо сказать больше. На с.93 в ответе автора на упомянутый комментарий снова утверждается, что конструкция (6) является счетной. Но это неверно! Конструкция (6), как минимум, имеет мощность стандартного континуума ω1=2ω, о чем говорят и П.С. Александров [12, с. 69 и теорема 18 на с. 70], и Ю.И. Манин [13, с. 105]. Это – первое. Во-вторых, автор настойчиво утверждает [9, с. 81, 93] об изоморфизме конструкций (5) и (6) с сохранением естественного порядка натурального ряда. Но этого тоже не может быть, поскольку в конструкции (5) любое натуральное число n (кроме первого) имеет предшественника n-1, а в конструкции (6) имеется бесконечно много порядковых чисел (так называемых предельных) ω,ω×2,ω×3,..., которые не имеют предшественников (см., например, у Ю.И. Манина [13, с. 104] или в математической энциклопедии [10, Т.4, статья "Порядковое число"]), вследствие чего в конструкции (6) перед предельными трансфинитами ω, ω×2, ω×3, ... есть как бы "дырки", или "черные дыры", в которых содержатся мириады счетно бесконечных множеств, а в конструкции (5) таковых нет и поэтому между конструкциями (5) и (6) никак не может быть изоморфизма, тем более, с сохранением естественного порядка натурального ряда.
таким образом, никакого (1–1)-соответствия между счетной конструкцией (5) и несчетной конструкцией (6) нет и быть не может. Соответственно нет и быть не может никакой речи о сведении бесконечного к конечному, что пытался сделать Зенкин.
Из всего вышесказанного следует только одно: ниспровержение канторовской теории множеств не имеет под