Лазерная система для измерения статистических характеристик пространственных квазипериодических структур
Однако в работах [16, 17] показано, что для квазипериодического сигнала, описываемого единично-нулевой функцией вида (2.4)
(2.8), где - дискретная составляющая спектра на нулевой частоте, которая для квазипериодической структуры ЛЗ будет равна
(2.9) , а - непрерывная составляющая спектра, равная: (2.10), что справедливо для 
и не равных 1, согласно [3.35].
В выражениях (2.9) и (2.10) параметр 
является
пространственной частотой энергетического спектра исследуемого сигнала, величина которой определяется коэфициентом масштаба и зависит от схемы построения и геометрических размеров оптической системы КОС.
Для определения формы энергетического спектра пространственной структуры ЛЗ рассмотрим вещественную часть комплексной дроби в выражении (2.10), обозначив ее через В, т.е.
(2.11). Подставив в
(2.11) выражения (2.6) и (2.7) характеристических функций 
и получим:
(2.12).
Выражение (2.12) представляет собой комплексную дробь вида , вещественная часть которой равна (2.13).
Тогда, выполнив алгебраические преобразования над (2.12) с использо-ванием (2.13), вещественную часть В выражения (2.12) можно представить в виде :
(2.14).
Подставив (2.14) в (2.10), получим уравнение непрерывной составляю-щей энергетического спектра квазипериодической пространственной струк-туры ЛЗ:
(2.15), а энергетический спектр пространственной структуры ЛЗ
с нормаль-ным законом распределения ширины щелей и стенок может быть представ-лен следующим выражением:
(2.16).
Наибольший интерес для практической реализации в оптических системах КОС для автоматизации контроля статистических характеристик пространственной структуры ЛЗ представляет второе слагаемое выражения (2.16), содержащее функциональную взаимосвязь этих характеристик. Пос-кольку это слагаемое содержит гармонические функции, что указывает на наличие частот экстремальных амплитуд спектра. Величины экстремаль-ных амплитуд спектра и их частоты полностью определяются статисти-ческими характеристиками геометрических размеров элементов простран-ственной структуры ЛЗ.
Первое слагаемое в (2.16) описывает амплитуду спектра на нулевой частоте, а в оптической системе КОС - интенсивность недифрагированного светового потока, который фокусируется оптической системой на его оси в плоскости спектрального анализа.
4. Задание характеристик элементов измерительной
системы
Источник излучения газовый He-Ne лазер ЛГН-207А:
Диаметр пучка на растоянии 40 мм от переднего зеркала резонатора 0.52 мм.
Длина волны излучения 0.6328 мкм.
Расходимость излучения 1.85 мрад.
Мощность 2 мВт.
Характеристики оптичесих элементов:
Длина линии задержки 15 мм.
Высота линии зажержки 4 мм.
Диаметр фурье-объектива 24 мм.
Фокусное растояние фурье-объектива 104.98 мм.
Характеристики приемника излучения:
ПЗС-матрица, производстведена в Японии.
Количество элементов 512х340.
Размер чувствительной прощадки одного элемента 20х20 мкм.
Спектральная чувствительность 0.4 B/Вт.
Пороговый поток 10-12 Вт.
5. Математическая модель измерительной
системы
Оптическая система КОС, выполненная по схеме “входной транспарант перед фурье-объективом”, состоит из ряда последовательно расположен-ных вдоль оптической оси узлов: источник когерентного излучения, входной транспарант, фурье-объектив, фоторегистратор спектра (рис.2).
В такой системе, для получения высококонтрастного и сфокусирован-ного изображения исследуемого сигнала, источником когерентного излу-чения является точечный источник, излучаемое поле которого описывается функцией: (5.1), где А0-амплитуда световой волны источника; - дельта-функция Дирака. Кроме того, в оптике принято считать источник точечным, если его размеры в десять и более раз меньше растояния до оптической системы, что обычно всегда имеет место на практике для КОС.
Тогда, распределение поля 
в плоскости х1у1
согласно принципу Гюйгенса-Френеля, будет описываться выражением :
(5.3), где - оператор преобразования Френеля ; СФ- комплексная постоянная, равная . Если в плоскости х1у1 помещен пространственный транспарант с амплитудным коэфициентом пропускания , являюшийся записью исследуемого сигнала, то распределение поля за транспарантом может быть описано как
(5.2).
Применив принцип Гюйгенса-Френеля (5.3), можно определить распре-деление светового поля в плоскости х2у2 перед фурье-объективом, а поле за ним - применив (5.2).
Таким образом, распределение поля в плоскости х3у3 анализа будет описываться :
(5.4), где - оператор Френеля для преобразования поля на i-м участке свободного пространства толщиной li.
Рассмотрим последовательно распостранение когерентной световой волны в оптической системе КОС, представленной на рис. 2.
Подставив (5.1) в (5.3), определим распределение светового поля во входной плоскости х1у1 перед транспарантом
, где (5.5).
Выражение (5.5) получено с использованием фильтрующего свойства дельта-функции и описывает расходящуюся сферическую волну в плоскости х1у1 перед входным транспарантом в параксиальном приближении. Исполь-зование фильтрирующего свойства -функции допустимо в силу прост-ранственной инвариантности рассматриваемой параксиальной области оптической системы. Такое допущение обычно всегда имеет место на прак-тике, поскольку для уменшения влияния аберраций оптической системы на качество фурье-образа, используют лишь ее центральную часть - парак-сиальную область.
Определив распределение поля за входным транспарантом c ис-пользованием (5.2), поле во входной плоскости фурье-объектива, согласно принципу Гюйгенса-Френеля, можно представить как
(5.6), где - постоянный фазовый коэфициент Френеля; S1 -область интегрирования по
аппертуре входного транспаранта.
Распределение поля в плоскости х2у2 за фурье-объективом, согласно (5.2) будет
(5.7), а подставив
(5.6) в (5.7) с учетом (5.3), распределение поля в плоскости х3у3 анализа можно представить в виде :
(5.7),
где 
(5.8).
Поскольку переменные х1, у1 и х2, у2 интегрирования, в полученном выражении (5.7), являются величинами взаимонезависимыми, то их можно поменять местами, а (5.7) примет вид:
(5.9),
где 
(5.10), а - функция зрачка фурье-объектива, удовлетворяющая условиям (5.10) финитности в области .
Для анализа выражения (5.9), рассмотрим отдельно внутренний интег-рал, который описывает суперпозицию светового поля по входной аперту-ре фурье-объектива и группируя совместно одинаковые экспотенциаль-ные сомножители, упростим его.
Формальное увеличение пределов интег-рирования по входной апертуре фурье-объектива до бесконечности возможно, поскольку размеры входного транспаранта всегда на мно-го меньше аппертуры фурье-объектива, а также чем требуется по усло-виям параксиальности Френеля и условию (5.10)
финитности функции зрачка фурье-объектива. Поэтому дифракционное изображение сигнала в плоскости х3у3 анализа ограничено не апертурой фурье-объек-тива, а апертурой 
входного
транспаранта. Это влияние уменшается, чем ближе расположен входной транспарант к фурье-объективу, т.е. чем меньше растояние , что обычно всегда выполняется на практике. Учитывая это можно записать в пределах области интегрирова-ния
(5.11).
Выражение (5.11) содержит два взаимонезависимых подобных интегра-ла и 
, каждый из которых может быть вычислен с использованием
табличного интеграла вида :
(5.12). Применив
(5.12) к (5.11), но предва-рительно обозначив через
, и 
(5.12), выражение
(5.11) можно представить в виде :
(5.13).
Подставив (5.13) в (5.9) получим
(5.14).
Выражение (5.14) описывает пространственное распределение комп-лексных амплитуд светового поля в плоскости х3у3
спектрального анализа и содержит ряд взаимонезависимых квадратичных фазовых сомножителя, по-ле в плоскости х3у3 является
фурье-образом поля в плоскости х1у1 за входным транспарантом с пространственными частотами 
и , равными 
, и (5.15)
Подинтегральный квадратичный сомножитель в выражении (5.14) для распределения поля в плоскости х3у3 анализа
(5.16), при
(5.17)
Решив уравнение (5.17) относительно 
определим
(5.18).
Полученное уравнение (5.18) представляет собой известное условие Гауса о фокусировке оптической системы, согласно
(5.19)
Таким образом, только при условии фокусировки оптической системы, представленной на рис.2, в ней осуществляется спектральное
преобразо-вание Фурье, формируемое в плоскости х3у3, над сигналом , поме-щенным во входной плоскости х1у1.
Однако, фурье-образ сигнала содержит квадратичную модуляцию фазы волны из-за наличия фазового сомно-жителя, стоящего перед интегралом в выражении (5.14).
Наличие фазовой модуляции фурье-образа приводит к тому, что при регистрации его методами голографии в результирующей интерферограмме возникают дополнительные
аберрации, значительно влияющие на его качество. Эта модуляция также имеет важное значение и не может быть опущена в случае дальнейших преобразований
деталями оптической системы фурье-образа 
сигнала . Однако, квадратичная модуляция фазы фурье-образа может быть устранена при соответствующем выборе геометри-ческих параметров оптической
системы, т.е.
(5.20) при (5.21).
Решив уравнение (5.21) относительно 
находим
(5.22) при =0, либо 
.
Таким образом, квадратическая фазовая модуляция фурье-образа устра-нима лишь в двух случаях:
при размещении сигнального транспаранта в передней фокальной плоскости фурье-объектива, что полностью совпадает с полученными ранее результатами исследований, но лишь для КОС с плоской вол-ной во входной плоскости, т.е. при .
при 
, т.е. плоскость х3у3 спектрального
анализа должна совпа-дать с плоскостью х2у2 размещения фурье-объектива, что физически нереализуемо в оптической системе, согласно
условию Гауса.
Учитывая (5.16) и (5.20) выражение (5.14) можно представить в виде:
(5.23),
откуда видно, что квадратичные фазовые искажения фурье-образа (5.14) сигнала устранимы не только при освещении входного транспаранта плос-кой, но и сферической волной при выполнении условий (5.18 ) и (5.22).
Выходной электрический сигнал ФИС представляет собой решение известной в оптике задачи о набегании светового пятна, распределение освещенности в котором описывается выражением:
, на узкую щеле-вую
диафрагму вдоль координаты х3. Наиболее общим методом решения подобных задач является вычисление интеграла свертки функции освещенности с
функцией 
пропускания полевой диафрагмы ФИС, равной:
(5.24), где - ширина щели вдоль координаты х3, - высота щели вдоль координаты