Репрезентативная теория измерений и её применения
Рассмотрим конкретный пример применения только что сформулированного подхода.
Анализировались восемь математических моделей некоторого физико-химического явления, обозначенные следующим образом: Д, Л, М-К, Б, Г-Б, Сол, Стеф, К. В 12 экспериментах измерены реальные значения интересующей исследователей характеристики этого явления. Для условий этих 12 экспериментов найдены расчетные значения рассматриваемой характеристики по каждой из 8 моделей. В приведенной ниже таблице приведены ранги 8 моделей по точности приближения в отдельных экспериментальных точках (ранг 1 - самая точная модель, ранг 2 - вторая по точности, ... , ранг 8 - самая далекая от истинного экспериментального значения модель). Ранжировки получены путем сравнения относительных погрешностей моделей.
Табл. Ранги 8 моделей по точности
приближения и результаты расчетов
№ эксперимента | Д | Л | М-К | Б | Г-Б | Сол | Стеф | К |
1 | 5 | 3 | 1 | 2 | 8 | 4 | 6 | 7 |
2 | 5 | 4 | 3 | 1 | 8 | 2 | 6 | 7 |
3 | 1 | 7 | 5 | 4 | 8 | 2 | 3 | 6 |
4 | 6 | 4 | 2,5 | 2,5 | 8 | 1 | 7 | 5 |
5 | 8 | 2 | 4 | 6 | 3 | 5 | 1 | 7 |
6 | 5 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 | 7 | 8 |
7 | 6 | 1 | 2 | 3 | 5 | 4 | 8 | 7 |
8 | 5 | 1 | 3 | 2 | 7 | 4 | 6 | 8 |
9 | 6 | 1 | 3 | 2 | 5 | 4 | 7 | 8 |
10 | 5 | 3 | 2 | 1 | 8 | 4 | 6 | 7 |
11 | 7 | 1 | 3 | 2 | 6 | 4 | 5 | 8 |
12 | 1 | 6 | 5 | 3 | 8 | 4 | 2 | 7 |
Сумма рангов | 60 | 39 | 37,5 | 31.5 | 76 | 39 | 64 | 85 |
Среднее арифметическое рангов | 5 | 3,25 | 3,125 | 2,625 | 6,333 | 3,25 | 5,333 | 7,083 |
Итоговый ранг по средн. арифм. | 5 | 3,5 | 2 | 1 | 7 | 3,5 | 6 | 8 |
Медианы рангов | 5 | 3 | 3 | 2,25 | 7,5 | 4 | 6 | 7 |
Итоговый ранг по медианам | 5 | 2,5 | 2,5 | 1 | 8 | 4 | 6 | 7 |
В соответствии с методом средних арифметических рангов приведенные в таблице значения складываются по всем экспериментальным точкам (суммы приведены в четвертой снизу строке таблицы) и модели ранжируются в порядке возрастания суммы рангов. Итоговый ранг приведен в третьей снизу строке таблицы. Ранжировка по суммам рангов (или, что то же, по средним арифметическим рангам) имеет вид:
Б < М-К < {Л, Сол} < Д < Стеф < Г-Б < К . (3)
Поскольку модели Л и Сол получили одинаковую сумму баллов, то по рассматриваемому методу ранжирования они эквивалентны, а потому объединены в группу (кластер), т.е. ранжировка (2) имеет одну связь.
Медианы совокупностей из 12 рангов, соответствующих определенным моделям, приведены в предпоследней строке таблицы. (При этом медианы вычислены по обычным правилам статистики - как среднее арифметическое центральных членов вариационного ряда.) Итоговое упорядочение по методу медиан приведено в последней строке таблицы. Ранжировка по медианам имеет вид:
Б < {М-К, Л} < Сол < Д < Стеф < К <Г-Б . (4)
Поскольку модели Л и М-К имеют одинаковые медианы баллов, то по рассматриваемому методу ранжирования они эквивалентны, а потому объединены в группу (кластер), т.е. ранжировка (4) имеет одну связь.
Сравнение ранжировок (3) и (4) показывает их близость (похожесть). Можно принять, что модели М-К, Л, Сол упорядочены как М-К < Л < Сол, но из-за погрешностей статистических данных в одном методе признаны равноценными модели Л и Сол (ранжировка (3)), а в другом - модели М-К и Л (ранжировка (4)). Существенным является только расхождение, касающееся упорядочения моделей К и Г-Б: в ранжировке (3) Г-Б < К, а в ранжировке (4), наоборот, К < Г-Б. Однако эти модели - наименее точные из восьми рассматриваемых, и при выборе наиболее точных моделей для дальнейшего использования на указанное расхождение можно не обращать внимание.
Рассмотренный пример демонстрирует сходство и различие ранжировок, полученным по методу средних арифметических рангов и по методу медиана, а также пользу от их совместного применения.
Заключение
С 1973 г. работает неформальный научный коллектив вокруг научного семинара “Математические методы экспертных оценок и нечисловая статистика”, созданный в рамках секции "Планирование эксперимента" Научного Совета АН СССР по комплексной проблеме "Кибернетика" (сейчас название семинара - "Экспертные оценки и анализ данных"). Проведено много научных исследований, опубликованы десятки монографий и сборников, сотни статей. Существенная часть полученных результатов посвящена проблемам статистики объектов нечисловой природы и отражена в обзорах [1-3,37]. Однако не было стимулов стремиться к практическому внедрению теоретических исследований, разрабатывать методики и компьютерные системы.
В настоящее время ситуация изменилась. Возникла масса аналитических центров, которым разработки нашего научного коллектива явно полезны. Однако важно установить контакты между нами, теоретиками, и менеджерами аналитических центров, наладить систему обучения. Знания должны быть основой для компьютерных систем. В частности, мы разрабатываем Автоматизированное Рабочее Место “Математика для экспертизы” (АРМ МАТЭК) специалиста по проведению экспертных исследований [38].
Подводя итоги, можно сказать, что репрезентативная теория измерений (или репрезентационная, как предпочитает писать Ю.Н.Толстова) в состоянии дать рекомендации по выбору методов анализа статистических данных, измеренных в тех или иных шкалах, а потому является частью научного инструментария специалиста по математическим методам исследования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Орлов А.И. / Заводская лаборатория. 1990. Т.56. No.3. С.76-83.
2. Орлов А.И. / Заводская лаборатория. 1995. Т.61. No.3. С.43-52.
3. Орлов А.И. / Заводская лаборатория. 1996. Т.62. No.1. С.54-60.
4. Пфанцагль И. Теория измерений. - М.: Мир, 1976. - 165 с.
5. Стахов А.П. Алгоритмическая теория измерения. - М.: Знание, 1979. - 64 с.
6. Толстова Ю.Н. / Заводская лаборатория. - Настоящий номер.
7. Стивенс С.С. / Экспериментальная психология. Т.1. - М.: ИЛ, 1960. С.5-78.
8. Суппес П., Зинес Дж. / Психологические измерения. - М.: Мир, 1967. С. 9-110.
9. Патругин Ю.А. / Экономика и математические методы. 1970. Т. VI. N 6. С.887-893.
10. Сатаров Г.А / Проблемы педагогической квалиметрии. Вып.1. - М.: МГПИ им.В.И.Ленина, 1974. С. 78-90.
11. Кузьмин В.Б., Овчинников С.В. / Многомерный статистический анализ в социально-экономических исследованиях. - М.: Наука, 1974. С. 384-388.
12. Орлов А.И. / Многомерный