Экзаменационные вопросы и билеты по линейной алгебре за весенний семестр 2001 года
Билет № 26
Приведение матрицы к ступенчатому виду методом Гаусса. Пример.
Вычислить определитель матрицы det A, где А = методом Гаусса.
Образует ли линейное пространство множество функций, непрерывных на отрезке [a,b], относительно операций сложения функций и умножения функции на число?
Какая квадратичная форма называется неотрицательно определенной?
Найдите ранг квадратичной формы трех переменных х2 + 2ху +z2.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 27
Какой вектор называют решением линейной системы уравнений? Что значит решить систему линейных уравнений? Какие системы называют эквивалентными?
Найти матрицу А-1, обратную к матрице А и с ее помощью решить систему А = , где А = , = , .
Дайте определение размерности линейного пространства.
При каком условии существует базис, в котором матрица линейного оператора является диагональной?
В ортонормированном базисе оператор А имеет матрицу А = . Найдите матрицу сопряженного ему оператора в этом же базисе.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 28
Какую матрицу называют невырожденной? При каком значении определителя строки матрицы являются зависимыми, а при каком – независимыми?
Найти ранг матрицы: A = .
Сформулируйте необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов.
Какой вектор называется собственным вектором оператора?
Составьте характеристическое уравнение для оператора А, если его матрица А=. Найдите собственные значения оператора А.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 29
Какую матрицу называют матрицей системы уравнений? Какая матрица называется расширенной матрицей системы? Как записываются вектор неизвестных и вектор правых частей уравнений?
Сколько решений может иметь система уравнений: ?
Напишите зависимость, связывающую матрицы Аb и Ае в различных базисах b и e линейного пространства.
Сколько собственных значений имеет самосопряженный оператор, действующий в n-мерном евклидовом пространстве?
Не проводя вычислений, выясните, является ли система векторов а1=(-4, 2, 3), а2= (-3, 5, 1), а3 = (1,-7, 3), а4= (12,-5,4) линейно независимой.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 30
Какую матрицу называют единичной, нулевой, треугольной? Пример.
Сколько решений может иметь система уравнений: ?
Какой вид у матрицы тождественного оператора, действующего в пространстве L?
Дайте определение оператора, сопряженного к данному линейному оператору А.
Запишите матрицу перехода от базиса b к новому с, если b1=с1-3с2+2с3, b2=-2с1+с2 - с3, b3=с1+2с2-2с3.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 31
Как записывается формула разложения определителя по строке или столбцу? Пример.
Найти матрицу , обратную к матрице А и с ее помощью решить систему , где , , .
Запишите неравенство Коши - Буняковского.
Дайте определение самосопряженного оператора.
Приведите квадратичную форму х12 + 4х1х2 + x2x3 + x32 к каноническому виду методом выделения квадратов.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 32
Неоднородная система линейных уравнений. Ее общее и частное решения. Пример.
Найти ранг матрицы: A =.
Дайте понятие ортонормированного базиса линейного пространства.
Как находятся собственные векторы линейного оператора?
Пусть 1, 2,.., n - собственные значения оператора А. Найдите собственные значения линейного оператора, матрицей которого является матрица А2.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 33
Однородные системы уравнений и их основные свойства.
Сколько решений может иметь система уравнений: ?
Каким аксиомам подчиняется норма вектора?
Какая квадратичная форма называется положительно определенной?
Запишите матрицу перехода от базиса b к новому с, если b1= 4с1- с2+9с3, b2 =-с1+6с2-11с3, b3=5с1+3с2-2с3.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 34
Понятие «определитель» применительно к матрице третьего порядка. Какую величину называют алгебраическим дополнением элемента? Пример.
Даны матрицы и . Найти АВ-ВА.
Какое пространство называется евклидовым?
Когда матрица оператора А подобна некоторой диагональной?
Выясните, образуют ли векторы а1=(1, 0, 0, 0), а2= (1, 1, 0, 0), а3 = (1,1, 1, 0), а4= (1,1,1, 1) базис в линейном арифметическом пространстве R4.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 35
Задача межотраслевого баланса. Ее математическая модель.
Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений: .
Что означает запись dim V?
Что такое квадратичная форма?
Пусть 1, 2,.., n - собственные значения оператора А. Найдите собственные значения линейного оператора, матрицей которого является матрица А-1.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------