Статистическая обработка экспериментальных данных
Аннотация
Темой курсовой работы является "Статистическая обработка экспериментальных данных". Целью курсовой работы является закрепление изученного материала по дисциплине "Метрология, стандартизация и сертификация" и приобретение практических навыков обработки экспериментальных данных различных видов измерений.
В курсовой работе приведены:
– в разделе "Однократные измерения": порядок выполнения однократного измерения, внесены необходимые поправки и определен предел, в котором находится значение измеряемой величины;
– в разделе "Многократные измерения": результаты измерений, порядок выполнения многократного измерения, исключены ошибки из результатов измерений и определен результат измерений;
– в разделе "Обработка результатов нескольких серий измерений": серии результатов измерений, порядок их обработки и результат измерения;
– в разделе "Косвенные измерения": функциональная зависимость между искомой величиной Z и измеряемыми величинами X и Y, определены и внесены поправки и определен результат измерения;
– в разделе "Определение погрешностей результатов измерений методом математической статистики": результаты измерения, выстроены: гистограмма нормального рассеяния измерений и график реального рассеяния измерений в едином масштабе.
Курсовая работа содержит 30 листов расчетно-пояснительной записки.
СОДЕРЖАНИЕ
Курсовая работа 1
Введение 3
1. Однократное измерение 4
2. Многократное измерение 6
3. Обработка результатов нескольких серий измерений 13
4. Функциональные преобразования результатов измерений (косвенные измерения) 19
5. Определение погрешностей результатов измерений методом математической статистики 25
29
Литература 30
Введение
Измерения — один из важнейших путей познания природы человеком. Они играют огромную роль в современном обществе. Наука и промышленность не могут существовать без измерений. Практически нет ни одной сферы деятельности человека, где бы интенсивно не использовались результаты измерений, испытаний и контроля.
Диапазон измерительных величин и их количество постоянно растут и поэтому возрастает и сложность измерений. Они перестают быть одноактным действием и превращаются в сложную процедуру подготовки и проведения измерительного эксперимента и обработки полученной информации.
Другой причиной важности измерений является их значимость. Основа любой формы управления, анализа, прогнозирования, контроля или регулирования — достоверная исходная информация, которая может быть получена лишь путем измерения требуемых физических величин, параметров и показателей. Только высокая и гарантированная точность результатов измерений обеспечивает правильность принимаемых решений.
1. Однократное измерение
Условие. При однократном измерении физической величины получено показание средства измерения X = 10. Определить, чему равно значение измеряемой величины, если экспериментатор обладает априорной информацией о средстве измерений и условиях выполнения измерений, согласно исходным данным.
Исходные данные:
Показание средства измерения – X = 10.
Вид закона распределения – равномерный.
Значение оценки среднеквадратического отклонения – SX = 0,8.
Значение аддитивной поправки – Θa = 0,9.
Расчет. Так как в качестве априорной используется информация о законе распределения вероятности, т.е. закон распределения вероятности является равномерным, то пределы, в которых находится значение измеряемой величины, определяются через доверительный интервал:
; (1)
Для равномерного закона распределения вероятности результата измерения значение E (аналог доверительного интервала) можно определить из выражения:
, (2)
где .
Внесем аддитивную поправку и уточним пределы, в которых находится значение измеряемой величины.
2. Многократное измерение
Условие. При многократном измерении одной и той же физической величины получена серия из 24 результатов измерений Qi; . Определить результат измерения.
Исходные данные:
Таблица 1
№ изме-рения | Результат измерения | № изме-рения | Результат измерения | № изме-рения | Результат измерения | № изме-рения | Результат измерения |
1 | 482 | 7 | 483 | 13 | 483 | 19 | 483 |
2 | 485 | 8 | 483 | 14 | 483 | 20 | 482 |
3 | 486 | 9 | 481 | 15 | 483 | 21 | 481 |
4 | 486 | 10 | 480 | 16 | 483 | 22 | 481 |
5 | 483 | 11 | 492 | 17 | 484 | 23 | 483 |
6 | 483 | 12 | 486 | 18 | 484 | 24 | 495 |
Расчет. Порядок расчета и их содержание определяются условием:
10…15 < n< 40…50,
так как n = 24.
1. Определяем оценки результата измерения и среднего квадратического отклонения результата измерения .
(3)
(4)
Для удобства вычисления среднего квадратического отклонения результата измерения составим таблицу:
Таблица 2
№ из-мерения |
Результат измере-ния (Qi) |
№ из-мерения |
Результат измере-ния (Qi) |
||||
1 | 482 | -1,9583 | 3,8351 | 13 | 483 | -0,9583 | 0,9184 |
2 | 485 | 1,0417 | 1,0851 | 14 | 483 | -0,9583 | 0,9184 |
3 | 486 | 2,0417 | 4,1684 | 15 | 483 | -0,9583 | 0,9184 |
4 | 486 | 2,0417 | 4,1684 | 16 | 483 | -0,9583 | 0,9184 |
5 | 483 | -0,9583 | 0,9184 | 17 | 484 | 0,0417 | 0,0017 |
6 | 483 | -0,9583 | 0,9184 | 18 | 484 | 0,0417 | 0,0017 |
7 | 483 | -0,9583 | 0,9184 | 19 | 483 | -0,9583 | 0,9184 |
8 | 483 | -0,9583 | 0,9184 | 20 | 482 | -1,9583 | 3,8351 |
9 | 481 | -2,9583 | 8,7517 | 21 | 481 | -2,9583 | 8,7517 |
10 | 480 | -3,9583 | 15,6684 | 22 | 481 | -2,9583 | 8,7517 |
11 | 492 | 8,0417 | 64,6684 | 23 | 483 | -0,9583 | 0,9184 |
12 | 486 | 2,0417 | 4,1684 | 24 | 495 | 11,0417 | 121,9184 |
Σ |
0 |
258,9583 |
2. Необходимо обнаружить и исключить ошибки. Для этого:
– вычисляем наибольшее по абсолютному значению нормированное отклонение
(5)
– задаемся доверительной вероятностью P = 0,95 и из соответствующих таблиц (табл. П6) с учетом q = 1 – P находим соответствующее ей теоретическое (табличное) значение :
при n = 24;
– сравниваем с : . Это означает, что данный результат измерения Qi, т.е. Q24 является ошибочным, он должен быть отброшен. Необходимо повторить вычисления по п.п. 1 и 2 для сокращенной серии результатов измерений и проводить их до тех пор, пока не будет выполняться условие .
Повторяем вычисления, при этом отбрасываем измерение №24:
(6)
(7)
Таблица 3
№ из-мерения |
Результат измере-ния (Qi) |
№ из-мерения |
Результат измере-ния (Qi) |
||||
1 | 482 | -1,4783 | 2,1853 | 13 | 483 | -0,4783 | 0,2287 |
2 | 485 | 1,5217 | 2,3157 | 14 | 483 | -0,4783 | 0,2287 |
3 | 486 | 2,5217 | 6,3592 | 15 | 483 | -0,4783 | 0,2287 |
4 | 486 | 2,5217 | 6,3592 | 16 | 483 | -0,4783 | 0,2287 |
5 | 483 | -0,4783 | 0,2287 | 17 | 484 | 0,5217 | 0,2722 |
6 | 483 | -0,4783 | 0,2287 | 18 | 484 | 0,5217 | 0,2722 |
7 | 483 | -0,4783 | 0,2287 | 19 | 483 | -0,4783 | 0,2287 |
8 | 483 | -0,4783 | 0,2287 | 20 | 482 | -1,4783 | 2,1853 |
9 | 481 | -2,4783 | 6,1418 | 21 | 481 | -2,4783 | 6,1418 |
10 | 480 | -3,4783 | 12,0983 | 22 | 481 | -2,4783 | 6,1418 |
11 | 492 | 8,5217 | 72,6200 | 23 | 483 | -0,4783 | 0,2287 |
12 | 486 | 2,5217 | 6,3592 |
Σ |
0 |
131,7391 |
при n = 23;
Сравниваем с : . Отбрасываем измерение №11 и повторяем вычисления.
(8)
(9)
Таблица 4
№ из-мерения |
Результат измере-ния (Qi) |
№ из-мерения |
Результат измере-ния (Qi) |
||||
1 | 482 | -1,0909 | 1,1901 | 12 | 483 | -0,0909 | 0,0083 |
2 | 485 | 1,9091 | 3,6446 | 13 | 483 | -0,0909 | 0,0083 |
3 | 486 | 2,9091 | 8,4628 | 14 | 483 | -0,0909 | 0,0083 |
4 | 486 | 2,9091 | 8,4628 | 15 | 483 | -0,0909 | 0,0083 |
5 | 483 | -0,0909 | 0,0083 | 16 | 484 | 0,9091 | 0,8264 |
6 | 483 | -0,0909 | 0,0083 | 17 | 484 | 0,9091 | 0,8264 |
7 | 483 | -0,0909 | 0,0083 | 18 | 483 | -0,0909 | 0,0083 |
8 | 483 | -0,0909 | 0,0083 | 19 | 482 | -1,0909 | 1,1901 |
9 | 481 | -2,0909 | 4,3719 | 20 | 481 | -2,0909 | 4,3719 |
10 | 480 | -3,0909 | 9,5537 | 21 | 481 | -2,0909 | 4,3719 |
11 | 486 | 2,9091 | 8,4628 | 22 | 483 | -0,0909 | 0,0083 |
Σ |
0 |
55,8182 |
при n = 22;
Сравниваем с . Так как , то результат измерения №10 не является ошибочным и окончательно остается 22 измерения, т.е. n = 22.
3. Проверяем гипотезу о нормальности распределения оставшихся результатов измерений.
– Применяем критерий 1, вычисляем отношение
(10)
– задаемся доверительной вероятностью P1 = 0,99 и для уровня значимости q1 = 1 – P1 по таблице П7 определяем квантили распределения и , , для n = 22.
– сравниваем с и : , значит гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными, т.е. результаты наблюдений можно считать распределенными нормально.
Так как n > 15, применяем критерий 2.
– задаемся доверительной вероятностью P2 = 0,98 и для уровня значимости q2 = 1 – P2 с учетом n = 22 определяем по таблице П8 значения m и P*. m = 2; P* = 0,97.
– для вероятности P* из таблиц для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t) определяем значение t:
; (11)
при Ф(t) = 0,485 t = 2,17;
Рассчитываем E:
; (12)
;
Согласно критерию 2 результаты наблюдений принадлежат нормальному закону распределения, если не более m разностей превысили E. Из таблицы 4 видно, что ни одна разность не превышает E = 3,4566. Следовательно, гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными.
Соблюдаются оба критерия, значит закон можно признать нормальным с вероятностью , .
4. Определяем стандартное отклонение среднего арифметического.
Так как закон распределения вероятности результата измерений признан нормальным, то стандартное отклонение определяем как:
(13)
5. Определяем доверительный интервал.
Закон распределения вероятности результата измерений признан нормальным, поэтому доверительный интервал для заданной доверительной вероятности P определяется из распределения Стьюдента.
P = 0,98; ; t = 2,33;
; (14)
Значение Q будет находиться в пределах:
3. Обработка результатов нескольких серий измерений
Условие. При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по 12 (nj) результатов измерений в каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 5. Вычислить результат многократных измерений.
Исходные данные:
Таблица 5
Серия 1 | Серия 2 | ||||||
№ изме-рения | Результат измерения | № изме-рения | Результат измерения | № изме-рения | Результат измерения | № изме-рения | Результат измерения |
1 | 482 | 7 | 483 | 1 | 483 | 7 | 483 |
2 | 485 | 8 | 483 | 2 | 483 | 8 | 482 |
3 | 486 | 9 | 481 | 3 | 483 | 9 | 481 |
4 | 486 | 10 | 480 | 4 | 483 | 10 | 481 |
5 | 483 | 11 | 492 | 5 | 484 | 11 | 483 |
6 | 483 | 12 | 486 | 6 | 484 | 12 | 495 |
Расчет.
1. Обрабатываем экспериментальные данные по алгоритму, изложенному в п.п. 1–3 задания 2, при этом:
– определяем оценки результата измерения и среднеквадратического отклонения ;
– обнаруживаем и исключаем ошибки;
– проверяем гипотезу о нормальности распределения оставшихся результатов измерений.
(15)
(16)
Таблица 6
Серия 1 | Серия 2 | ||||||
№ из-мерения |
Результат измере-ния (Q1i) |
№ из-мерения |
Результат измере-ния (Q2i) |
||||
1 | 482 | -2,1667 | 4,6944 | 1 | 483 | -0,7500 | 0,5625 |
2 | 485 | 0,8333 | 0,6944 | 2 | 483 | -0,7500 | 0,5625 |
3 | 486 | 1,8333 | 3,3611 | 3 | 483 | -0,7500 | 0,5625 |
4 | 486 | 1,8333 | 3,3611 | 4 | 483 | -0,7500 | 0,5625 |
5 | 483 | -1,1667 | 1,3611 | 5 | 484 | 0,2500 | 0,0625 |
6 | 483 | -1,1667 | 1,3611 | 6 | 484 | 0,2500 | 0,0625 |
7 | 483 | -1,1667 | 1,3611 | 7 | 483 | -0,7500 | 0,5625 |
8 | 483 | -1,1667 | 1,3611 | 8 | 482 | -1,7500 | 3,0625 |
9 | 481 | -3,1667 | 10,0278 | 9 | 481 | -2,7500 | 7,5625 |
10 | 480 | -4,1667 | 17,3611 | 10 | 481 | -2,7500 | 7,5625 |
11 | 492 | 7,8333 | 61,3611 | 11 | 483 | -0,7500 | 0,5625 |
12 | 486 | 1,8333 | 3,3611 | 12 | 495 | 11,2500 | 126,5625 |
Σ |
0 |
109,6667 |
Σ |
0 |
148,2500 |
;
(17)
; ;
при n = 12;
– сравниваем и с : и . Результаты измерения Q1,11 и Q2,12 являются ошибочными, они должны быть отброшены.
Повторяем вычисления, при этом отбрасываем измерения №1-11 и №2-12:
(18)
(19)
Таблица 7
Серия 1 | Серия 2 | ||||||
№ из-мерения |
Результат измере-ния (Q1i) |
№ из-мерения |
Результат измере-ния (Q2i) |
||||
1 | 482 | -1,4545 | 2,1157 | 1 | 483 | 0,2727 | 0,0744 |
2 | 485 | 1,5455 | 2,3884 | 2 | 483 | 0,2727 | 0,0744 |
3 | 486 | 2,5455 | 6,4793 | 3 | 483 | 0,2727 | 0,0744 |
4 | 486 | 2,5455 | 6,4793 | 4 | 483 | 0,2727 | 0,0744 |
5 | 483 | -0,4545 | 0,2066 | 5 | 484 | 1,2727 | 1,6198 |
6 | 483 | -0,4545 | 0,2066 | 6 | 484 | 1,2727 | 1,6198 |
7 | 483 | -0,4545 | 0,2066 | 7 | 483 | 0,2727 | 0,0744 |
8 | 483 | -0,4545 | 0,2066 | 8 | 482 | -0,7273 | 0,5289 |
9 | 481 | -2,4545 | 6,0248 | 9 | 481 | -1,7273 | 2,9835 |
10 | 480 | -3,4545 | 11,9339 | 10 | 481 | -1,7273 | 2,9835 |
11 | 486 | 2,5455 | 6,4793 | 11 | 483 | 0,2727 | 0,0744 |
Σ |
0 |
42,7273 |
Σ |
0 |
10,1818 |
;
; ;
при n = 11;
Сравниваем и с : и . Результаты измерений №1 10 и №2-9 не являются ошибочными и окончательно остается 11 измерений для обоих серий измерений, т.е. n = 11.
– Так как n .
2. Проверяем значимость различия средних арифметических серий. Для этого:
– вычисляем моменты закона распределения разности:
, (21)
n1 = n2 = n
(22)
– задавшись доверительной вероятностью P = 0,95, определяем из таблицы интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t) значение t.
t = 1,645
– сравниваем с , . . Различия между средними арифметическими в сериях с доверительной вероятностью P можно признать незначимым
3. Проверим равнорассеянность результатов измерений в сериях, для этого:
– определяем значение Ψ:
(23)
> 1
Из таблицы находим значение аргумента интегральной функции распределения Фишера Ψ0; Ψ0=1,96 при P=0,95.
Сравниваем Ψ и Ψ0: Ψ > Ψ0, следовательно, серии с доверительной вероятностью P = 0,95 считаем рассеянными.
4. Обрабатываем совместно результаты измерения обеих серий с учетом весовых коэффициентов:
– определяем оценки результата измерения и среднеквадратического отклонения S
(24)
(25)
– задавшись доверительной вероятностью P = 0,95, определяем по таблице t = 1,96. Определяем доверительный интервал.
4. Функциональные преобразования результатов измерений (косвенные измерения)
Условие. При многократных измерениях независимых величин X и Y получено по 12 (n) результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 8. Определить результат вычисления Z = f (X,Y).
Исходные данные:
Таблица 8
Функция Z=f(X,Y) |
№ изме-рения | Значения величин | |||
X – масса |
Y – радиус сферы |
||||
мкг | кг | мкм | м | ||
плотность материала Z=3X/4πY3 |
1 | 482 |
4,82·10-7 |
483 |
4,83·10-4 |
2 | 485 |
4,85·10-7 |
483 |
4,83·10-4 |
|
3 | 486 |
4,86·10-7 |
483 |
4,83·10-4 |
|
4 | 486 |
4,86·10-7 |
483 |
4,83·10-4 |
|
5 | 483 |
4,83·10-7 |
484 |
4,84·10-4 |
|
6 | 483 |
4,83·10-7 |
484 |
4,84·10-4 |
|
7 | 483 |
4,83·10-7 |
483 |
4,83·10-4 |
|
8 | 483 |
4,83·10-7 |
482 |
4,82·10-4 |
|
9 | 481 |
4,81·10-7 |
481 |
4,81·10-4 |
|
10 | 480 |
4,80·10-7 |
481 |
4,81·10-4 |
|
11 | 492 |
4,92·10-7 |
483 |
4,83·10-4 |
|
12 | 486 |
4,86·10-7 |
495 |
4,95·10-4 |
Расчет.
1. Обрабатываем экспериментальные данные по алгоритму, изложенному в п.п. 1–3 задания 2, при этом:
– определяем оценки результатов измерений , и среднеквадратических отклонений и ;
– обнаруживаем и исключаем ошибки;
– проверяем гипотезу о нормальности распределения оставшихся результатов измерений.
; (25)
; (26)
Таблица 9
Значения X |
Значения Y |
||||||
№ из-мерения |
Результат измере-ния (Xi) |
|
|
№ из-мерения |
Результат измере-ния (Yi) |
|
|
1 |
4,82·10-7 |
-2,1667·10-9 |
4,6944·10-18 |
1 |
4,83·10-4 |
-7,5·10-7 |
5,625·10-13 |
2 |
4,85·10-7 |
8,3333·10-10 |
6,9444·10-19 |
2 |
4,83·10-4 |
-7,5·10-7 |
5,625·10-13 |
3 |
4,86·10-7 |
1,8333·10-9 |
3,3611·10-18 |
3 |
4,83·10-4 |
-7,5·10-7 |
5,625·10-13 |
4 |
4,86·10-7 |
1,8333·10-9 |
3,3611·10-18 |
4 |
4,83·10-4 |
-7,5·10-7 |
5,625·10-13 |
5 |
4,83·10-7 |
-1,1667·10-9 |
1,3611·10-18 |
5 |
4,84·10-4 |
2,5·10-7 |
6,25·10-14 |
6 |
4,83·10-7 |
-1,1667·10-9 |
1,3611·10-18 |
6 |
4,84·10-4 |
2,5·10-7 |
6,25·10-14 |
7 |
4,83·10-7 |
-1,1667·10-9 |
1,3611·10-18 |
7 |
4,83·10-4 |
-7,5·10-7 |
5,625·10-13 |
8 |
4,83·10-7 |
-1,1667·10-9 |
1,3611·10-18 |
8 |
4,82·10-4 |
-1,75·10-6 |
3,0625·10-12 |
9 |
4,81·10-7 |
-3,1667·10-9 |
1,0028·10-17 |
9 |
4,81·10-4 |
-2,75·10-6 |
7,5625·10-12 |
10 |
4,80·10-7 |
-4,1667·10-9 |
1,7361·10-17 |
10 |
4,81·10-4 |
-2,75·10-6 |
7,5625·10-12 |
11 |
4,92·10-7 |
7,8333·10-9 |
6,1361·10-17 |
11 |
4,83·10-4 |
-7,5·10-7 |
5,625·10-13 |
12 |
4,86·10-7 |
1,8333·10-9 |
3,3611·10-18 |
12 |
4,95·10-4 |
1,125·10-5 |
1,2656·10-10 |
Σ |
0 |
1,0967·10-16 |
Σ |
0 |
1,4825·10-10 |
; ;
; (27)
; ;
при n = 12;
– сравниваем и с