ПТЦА - Прикладная теория цифровых автоматов

р(3,5) = 2.

Для определения того, какая пара займет второе место в матрице находим веса компонентов пар:

р(1) = 3 р(2) = 3 р(1) + р(2) = 6

р(3) = 4 р(4) = 2 р(3) + р(4) = 6

р(3) = 4 р(5) = 2 р(3) + р(5) = 6

В данном случае для всех пар совпадают и их веса и веса их компонентов. Поэтому на второе место матрицы может быть поставлена любая из пар (1,2), (3,4), (3,5). Но тогда на 3-м и 4-м будут остальные две. Выполнив упорядочивание всех пар, получим матрицу в виде:

		i	j	p(i,j)
		2	3	3
		1	2	2
M	=	3	4	2
		3	5	2
		1	3	1
		1	5	1
		2	4	1
		2	5	1

3. Определяем разрядность кода для кодирования состояний автомата (количество элементов памяти – триггеров). Всего состояний M=5. Тогда

R = ]log₂M[ = ]log₂5[ =3.

Закодируем состояния из первой строки матрицы следующим образом: K₂ = K(а₂) = 000; K₃ = K(а₃) = 001.

Для удобства кодирования будем иллюстрировать этот процесс картой Карно:

4. Вычеркнем из матрицы первую строку, соответствующую закодированным состояниям а₂ и а₃. Получим матрицу .

		i	j	p(i,j)
		1	2	2
		3	4	2
M’	=	3	5	2
		1	3	1
		1	5	1
		2	4	1
		2	5	1

5. В силу упорядочивания п.2 в первой строке закодирован ровно один элемент. Выберем из первой строки незакодированный элемент и обозначим его . (В нашем случае  = 1).

6. Строим матрицу , выбрав из строчки, содержащие .

				i	j	p(i,j)
				1	2	2
M	=	M’	=	1	3	1
				1	5	1

Пусть B_ = {₁,...,_F} – множество элементов из матрицы , которые уже закодированы. Их коды К_1,..., K_F соответственно. В нашем случае:

B_ = B₃ = {2,3} K₂ = 000 K₃ = 001.

7. Для каждого K_f (f=1, ..., F) найдем – множество кодов, соседних с и еще не занятых для кодирования состояний автомата. (Для соседних кодов кодовое расстояние d=1).

K₂ = 000 = {100, 010}

K₃ = 001 = {011, 101}.

Построим множество

Если оказывается, что , то строим новое множество , где – множество кодов, у которых кодовое расстояние до кода равно 2 и т.д..

8. Для каждого кода из множества D_ находим кодовое расстояние до кода .

K₂ = 000 K₃ = 001

d(100, 000) = 1 d(100, 001) = 2

d(010, 000) = 1 d(010, 001) = 2

d(011, 000) = 2 d(011, 001) = 1

d(101, 000) = 2 d(100, 001) = 1

9. Находим значение функции w для каждого кода из множества D_.

10. Из множества D_ выбираем код K_, у которого получилось минимальное значение w в п.9. Выбираем код для состояния a₁ К₁ =100.

11. Из матрицы вычеркиваем строки, в которых оба элемента уже закодированы, в результате чего получим новую матрицу . Если в новой матрице не осталось ни одной строки, то кодирование закончено. В противном случае возвращаемся к п.5. В нашем случае имеем:

		i	j	p(i,j)
		3	4	2
		3	5	2
M’	=	1	5	1
		2	4	1
		2	5	1

К₂ = 000 = {010}

K₃ = 001 = {011, 101}

K₂ = 000 K₃ = 001

d(010, 000) = 1 d(010, 001) = 2

d(011, 000) = 2 d(011, 001) = 1

d(101, 000) = 2 d(101, 001) = 1

Выбираем К₄ = 101.

К₁ = 100 = {110}

K₂ = 000 = {010}

К₃ = 001 = {011}

К₁ = 100 K₂ = 000 K₃ = 001

d(110, 100) = 1 d(110, 000) = 2 d(110, 001) = 3

d(010, 100) = 2 d(010, 000) = 1 d(010, 001) = 2

d(011, 100) = 3 d(011, 000) = 2 d(011, 001) = 1

Выбираем К₅ = 011.

Т.к. все состояния автомата закодированы, то работа алгоритма заканчивается. Общее количество переключений триггеров:

Минимально возможное количество переключений (если бы состояния были закодированы соседним кодированием)

Коэффициент эффективности кодирования:

Рассмотренный алгоритм кодирования является машино-ориентированным, существуют программы, реализующие этот алгоритм.

Необходимо отметить в заключении, что использование алгоритма кодирования для D-триггеров или эвристического алгоритма для других типов триггеров обеспечивает наиболее простую с точки зрения реализации схему, но при этом возможны гонки. Для радикального устранения последних используют аппаратные методы – триггеры с двойной памятью: триггеры, управляемые фронтом и т.д..

Управляющие и операторные автоматы.

Принцип микропрограммного управления.

ЭВМ перерабатывает информацию, выполняя над ней какие-то операции. Для выполнения операций над информацией используются операционные устройства – процессоры, каналы ввода-вывода, устройства управления внешними устройствами и т.д. Функцией операционного устройства является выполнение заданного множества операций F={f₁,...,f_G} над входными словами D={d₁,...,d_H} c целью вычисления слов R={r₁,...,r_Q}, которые представляют результаты операций R=f_g(D), где g=1,2,...,G.

Функциональная и структурная организация операционных устройств базируется на принципе микропрограммного управления, который состоит в следующем:

1. Любая операция f_g(g=1,...,G), реализуемая устройством, рассматривается как сложное действие, которое разделяется на последовательность элементарных действий над словами информации. Эти элементарные действия называются микрооперациями.

2. Для управления порядком следования микроопераций используются логические условия, которые в зависимости от значений слов, преобразуемых микрооперациями, принимают значения "ложь" или "истина" (1 или 0).

3. Процесс выполнения операций в устройстве описывается в форме алгоритма, который представляется в терминах микроопераций и логических условий и называется микропрограммой. Микропрограмма определяет порядок проверки значений логических условий и следования микроопераций, необходимый для получения требуемых результатов.

4. Микропрограмма используется как форма представления функции устройства, на основе которой определяется структура и порядок функционирования устройства во времени.

Т.о. из принципа микропрограммного управления следует, что структура и порядок функционирования операционных устройств предопределяется алгоритмом выполнения операции F={f₁,...,f_G}.

К элементарным действиям над словами информации микрооперациям относятся: передача информации из одного регистра в другой, взятие обратного кода, сдвиг и т.д.

Понятие операционного и управляющих автоматов.

Как показал академик В.М. Глушков в любом устройстве обработки цифровой информации можно выделить два основных блока – операционный автомат (ОА) и управляющий автомат (УА).

Операционный автомат (ОА) служит для хранения слов информации, выполнения набора микроопераций и вычисления значений логических условий, т.е. операционный автомат является структурой, организованной для выполнения действий над информацией. Микрооперации, выполняемые ОА, задаются множеством управляющих сигналов Y={y₁,....,y_M}, с каждым из которых отождествляется определенная микрооперация.

Значения логических условий, вычисляемые в операционном автомате, отображаются множеством осведомительных сигналов X={x₁,...,x_L}, каждый из которых отождествляется с определенным логическим условием.

Управляющий автомат (УА) генерирует последовательность управляющих сигналов, предписанную микропрограммой и соответствующую значениям логическим условий. Иначе говоря, управляющий автомат задает порядок выполнения действий в ОА, вытекающий из алгоритма выполнения операций. Наименование операции, которую необходимо выполнить в устройстве, определяется кодом g операции, поступающим в УА извне. По отношению к УА сигналы g₁,...,g_h, посредством которых кодируется наименование операции и осведомительные сигналы x₁,...,x_L, формируемые в операционном автомате, играют одинаковую роль: они влияют на порядок выработки управляющих сигналов Y. Поэтому сигналы g₁,...,g_h и x₁,...,x_L относятся к одному классу – к классу осведомительных сигналов, поступающих на вход УА.

Т.о. любое операционное устройство – процессор, канал ввода-вывода и т.д. – является композицией операционного и управляющего автоматов. Операционный автомат, реализуя действия над словами информации, является исполнительной частью устройства, работой которого управляет управляющий автомат, генерирующий необходимые последовательности управляющих сигналов.

Операционный и управляющий автоматы могут быть определены своими функциями – перечнем выполняемых ими действий.

Функция ОА определяется следующей совокупностью сведений:

1) множеством входных слов D={d₁,...,d_H}, вводимых в автомат в качестве операндов;

2) множеством выходных слов R={r₁,...,r_Q}, представляющих результаты операций;

3) множеством внутренних слов S={s₁,...,s_N}, используемых для представления информации в процессе выполнения операций. Можно считать, что входные и выходные слова совпадают с определенными внутренними DS, RS.

4) множеством микроопераций Y={y_m}, реализующих преобразование S=_m(s) над словами информации, где _m – вычисляемая функция;

5) множеством логических условий X={x_i}, где x_i=_i(s_i) и _i – булева функция;

T.o. функция ОА задана, если заданы (определены) множества D, R, S, Y, X. Время не является аргументом функции ОА. Функция устанавливает список действий-микроопераций и логических условий, которые может выполнять автомат, но никак не определяет порядок следования этих действий во времени. Т.е. функция ОА характеризует средства, которые могут быть использованы для вычислений, но не сам вычислительный процесс.

Порядок выполнения действий во времени определяется в форме функций управляющего автомата.

Функция управляющего автомата – это операторная схема алгоритма ( микропрограммы), функциональными операторами которой являются символы у₁,...,у_m, отождествляемые с микрооперациями, и в качестве логических условий используются булевы переменные х₁,...,х_L. Операторная схема алгоритма наиболее часто представляется в виде граф-схемы алгоритма (ГСА). ГСА определяет вычислительный процесс последовательно во времени, устанавливая порядок проверки логических условий х₁-х_L и порядок следования микроопераций у₁-у_m.

СПОСОБЫ ОПИСАНИЯ АЛГОРИТМОВ И МИКРОПРОГРАММ

Наиболее наглядно изображать микропрограммы и алгоритмы в виде ориентированного графа, т.н. граф схемы алгоритма (ГСА). Кроме наглядности это дает возможность использовать для анализа и преобразования микропрограмм эффективные методы теории графов. При графическом описании отдельные функции алгоритмов (микрооперации) отображаются в виде условных графических изображений, т.н. вершин. В ГСА обычно используют вершины следующих типов:

- вершина «начало» имеет один выход, входов не имеет. Обозначает начало микропрограммы.

- вершина «конец» имеет любое число входов, выходов не имеет. Обозначает конец микропрограммы.

- операторная вершина имеет любое число входов, один выход. Внутри операторной вершины записывается одна микрокоманда - совокупность микроопераций, допускающих совместное (т.е. одновременное) выполнение.

- условная вершина имеет любое число входов и 2 выхода. Внутри условной вершины записывается булевое выражение, в зависимости от значения которого осуществляется выбор направления дальнейшего выполнения микропрограммы.

- особый вид условной вершины - ждущая - имеет множество входов, 2 выхода, 1 из которых заведен на вход. При попадании в ждущую вершину выход из нее возможен только при выполнении условия Х.

Граф микропрограммы состоит из совокупности перечисленных вершин и дуг, соединяющих выходы одних вершин с входами других. Соединение вершин и направление дуг графа определяют исходя из алгоритма операции, описываемого графом, и структуры операционного автомата.

Сама микропрограмма и ее граф должны быть корректны, т.е. отвечать следующим условиям:

1. В графе должна быть только одна начальная и одна конечная вершина.

2. В любую вершину графа должен вести по крайней мере один путь из начальной вершины.

3. Из каждого выхода любой вершины графа должен существовать по

крайней мере один путь в конечную вершину.

4. При всех возможных значениях логических условий и используемых слов должен существовать путь из начальной вершины в конечную.

Пример ГСА представлен на рисунке:

ГСА на рис.43 называется содержательной, т.к. внутри вершин записаны в явном виде микрооперации и логические условия. Если же каждую микрооперацию обозначить символами Yi, a логические условия через Xi, то получится так называемая кодированная ГСА (рис.44 ). Для правильного восприятия микропрограммы, заданной в виде кодированной ГСА, необходимо знать соответствия между Yi, Xi и содержанием соответствующих микроопераций и логических условий.

Для записи микроопераций внутри вершин используется так называемый Ф-язык. Подробно с зтим языком можно ознакомиться в последующих курсах «Схемотехника ЭВМ», «Теория и проектирование ЭВМ». Здесь же мы рассмотрим только основные положения этого языка.

В этом языке существуют двоичные константы и переменные: 0010 - константа, A(1:4) - четырехразрядное слово - четырехразрядная двоичная переменная. Например, A(1:4)=1010 означает, что в первом разряде слова A будет 1, во втором - 0 и т.д. A(2:3) - часть слова A, размещенная во втором и третьем разрядах.

Наиболее употребительные операции Ф-языка:

присваивание - A( 0:3 ): = 1000, B( 1:4 ): = A( 5:8 ) и т.д.

инвертирование - A( 0:3 ): = ^ B( 1:4 )

конкатенации - С( 0:6 ): = A( 0:3 ). B( 1:3 )

Пример 1. A( 0:3 ): = 1100 B( 1:4 ): = A( 0:3 )  B( 1:4 ): = 1100

2. B( 1:4 ): = 0101 A( 0:3 ): = ^B( 1:4 )  A( 0:3 ): = 1010

3. A( 0:3 ): = 1101 B( 1:3 ): = 110 C( 0:6 ): = A( 0:3 ). B( 1:3 )  C(0:6):=1101110

Запись вида A(2) означает, что здесь рассматривается второй разряд слова A, т.е. это бит, записанный во втором разряде слова A.

При выполнении операций присваивания необходимо соблюдать равенство разрядов в словах слева и справа от знака присваивания. Операции сложения, логического сложения и т.д. в Ф-языке записываются обычным способом через оператор присваивания:

C(0:n):=A(0:n)+B(0:n)

D(0:n):=A(0:n)vB(0:n) и т.д.

ОПЕРАЦИОННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Согласно принципа микропрограммного управления, любая сложная операция распадается на ряд микроопераций, которые выполняются ОА. Различные микрооперации выполняются элементарными ОА - так называемыми операционными элементами (ОЭ), которые являются составными частями основного ОА.

Под операционным элементом понимают устройство, реализующее одну из следующих функций или их произвольную комбинацию:

• хранение слова информации С;

• выполнение некоторых микроопераций, в результате которых вычисляется новое значение слова С;

• вычисления логического условия, зависящего от слова С;

Т.о. функция ОЭ определена, если заданы:

• описание хранимого или вычисляемого слова;

• описание множества микроопераций, выполняемых этим элементом;

• описание вычисляемых этим элементом логических условий.

Для построения ОА ОЭ соединяются между собой с помощью цепей передачи слов информации от выходов одних элементов к входам других.

В зависимости от выполняемых микроопераций ОЭ делятся на разновидности: шина, регистр, счетчик, сумматор, схема сравнения, дешифратор, шифратор и т.д.

Шина - это совокупность цепей, предназначенных для передачи слова информации. Условное обозначение шины представлено на рис.45.

Шины, изображенные на рис.45 называются неуправляемыми шинами.

Управляемые шины представлены на рис.46.

Под действием управляющего сигнала у управляемая шина выполняет микрооперации: у=0 : B(0:3):=0 , y=1 : B(0:3):=A(0:3)

Т.е. при y=1 осуществляется операция передачи. Разрядность шины может быть произвольная, но обычно это 8, 12, 16, 24, 32 и т.д.

Регистр - это операционный элемент, служащий для запоминания слов и обеспечивающий в общем случае выполнение следующих микроопераций:

• установка регистра в 0 (сброс);

• прием слова из другого регистра, шины и т.д.;

• передача слова на другой регистр, шину и т.д.;

• преобразование кодов хранимых слов в инверсные коды;

• сдвиг хранимого слова влево или вправо на требуемое число разрядов.

Регистр, выполняющий такие микрооперации, называется многофункциональным. Т.к. регистр предназначен для хранения информации, то он содержит элементы памяти, в качестве которых используются триггеры. Количество триггеров определяет разрядность регистра. Будем обозначать регистр в виде прямоугольника с указанием разрядности (рис.47 ).

Регистр может состоять из отдельных подрегистров, имеющих самостоятельное значение (рис.48.). На рис.48 представлен регистр, хранящий число в форме с плавающей запятой. В этом регистре три подрегистра: для хранения знака Рг(0), характеристики Рг(1:7), мантиссы Рг(8:31) числа.

Регистр может выполнять ряд микроопераций, например:

Регистр, который выполняет микрооперацию у4 (сдвиг вправо) или у5 (сдвиг влево) называются регистром сдвига.

Сумматор - операционный элемент, выполняющий суммирование кодов чисел. В зависимости от кодов чисел различают сумматоры прямого, обратного, дополнительного кодов. Кроме того, сумматоры бывают комбинационными и накапливающими.

Комбинационный сумматор вырабатывает выходные сигналы суммы и переноса, определяемые комбинацией цифр слагаемых, одновременно поданных на входы сумматора. Данный сумматор не обладает памятью и после снятия сигналов с входов выходные сигналы также исчезают.

Условное обозначение комбинационного сумматора представлено на рис.50.

Накапливающим называется сумматор, который осуществляет сложение слов A и B при подаче их на сумматор одного за другим. В накапливающем сумматоре имеется дополнительный регистр для хранения результата.

Структура и условное обозначение накапливающего сумматора представлены на рис. 51.

Счетчик - операционный элемент, который реализует микрооперацию счета. Микрооперация счета состоит в изменении состояния счетчика (значения хранимого слова) на 1. Кроме того счетчик может выполнить и такие микрооперации: установка в 0 и прием произвольного числа.

Т.е. полный набор возможных микроопераций для счетчика:

Счетчик, выполняющий микрооперацию у₁ называется суммирующим, микрооперацию у₂ - вычитающим, обе микрооперации - реверсивный.

Дешифратор - операционный элемент, выполняющий функцию преобразования некоторого n-разрядного двоичного кода в унитарный код «один из N». Если N=2ⁿ - то такой дешифратор называется полным, если N<2ⁿ - то частичным. Таблица истинности простейшего полного дешифратора (n=2) и его условное обозначение приведены в табл. 25. и на рис. 53.

Промышленность может выпускать дешифраторы с инверсными выходами. Для такого дешифратора таблица истинности и условное обозначение имеют вид (табл. 26., рис. 54.)

СИНТЕЗ МИКРОПРОГРАММНЫХ АВТОМАТОВ ПО ГРАФ-СХЕМЕ АЛГОРИТМА

Граф-схема алгоритма есть форма представления микропрограммы, которую должно выполнить операционное устройство (ОУ). При построении операционного устройства, как состоящего из операционного (ОА) и управляющего (УА) автоматов, необходимо уметь выделить функции ОА и УА из ГСА. Обычно микропрограмма представляется в виде содержательной ГСА. В этом случае для задания функций ОА необходимо перечислить все выполняемые микрооперации и все проверяемые логические условия данной микропрограммы, а также описать разрядность слов, обрабатываемых операционным устройством. На основании этих данных можно построить ОА методами, которые будут изложены в курсе «Схемотехника ЭВМ». Для инициализации выполнения той или иной микрооперации на ОА должны поступать в нужный согласно ГСА момент времени управляющие сигналы Yi. Обычно при проектировании ОУ