Xreferat.com » Рефераты по педагогике » Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы

Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра МПМ


Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы

Реферат


Исполнитель:

Студентка группы М-42 Локтева А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т.


Гомель 2007

Содержание


Введение

1. Образовательные цели изучения первообразной функции и интеграла в школьном курсе математики

2. Методическая схема изучения первообразной функции

3. Методическая схема изучения теоремы о площади криволинейной трапеции

4. Методическая схема и аспекты введения понятия интеграла в средней школе

Заключение

Литература


Введение


Основная образовательная цель изучения темы "Первообразная и интеграл" может быть сформулирована так: 1) ознакомить учащихся с операцией, которая является обратной по отношению к операции дифференцирования функций; 2) познакомить с использованием метода интегрального исчисления для решения геометрических задач, некоторых задач практического содержания. В связи с этим развивающими целями будут: а) введение нового метода решения задач ( в частности нахождение площади объёма фигуры) показать известную универсальность математических методов; б) показ учащимся основных этапов решения прикладных задач средствами математики.


1. Образовательные цели изучения первообразной функции и интеграла в школьном курсе математики


Теме "Первообразная и интеграл" предшествует тема "Производная и её применение". Такая последовательность изучения материала создаёт предпосылки для: 1) понимание учащимися взаимосвязи между операциями дифференцирования и интегрирования функций, а также основной идеи метода дифференциального и интегрального исчислений; 2) осознание учащимися того факта, что аппарат производной и интеграла – основа метода математического анализа. С одной стороны, он выступает как язык, описывающий многие явления, процессы мира. С другой – как инструмент, с помощью которого с учётом особенностей языка исследуются эти явления и процессы.

Основу содержания темы составляют два типа вопросов, каждый из которых группируется около двух понятий: "Первообразная", "Интеграл". Основное внимание при изучении уделяется: 1) нахождению первообразных и вычислению интегралов на базе таблиц первообразных и правил нахождения первообразных; 2) вычислению площадей криволинейной трапеции.

В качестве основных задач, решённых в процессе изучения темы, можно выделить следующие:

введение понятий первообразной и интеграла;

ознакомление учащихся с основными свойствами первообразных и правилами нахождения первообразных;

раскрытие смысла операции интегрирования как операции, обратной по отношению к операции дифференцирования заданной функции:

провести классификацию типов задач (нахождение площади криволинейной трапеции, нахождение объёма тела, задачи с физическим содержанием), показать, каким образом реализуется метод интегрального исчисления. При этом обратить внимание на выделение в процессе их решения этапов, характеризующих процесс математического моделирования.

Теоретический материал включает в себя понятия первообразной и её основное свойство понятие интеграла функции; связь между понятиями "интеграл" и "первообразная", которая устанавливается с помощью формулы Ньютона-Лейбница; формула Ньютона-Лейбница как аппарат вычисления интеграла данной функции.

Перечисленные понятия вводятся на дедуктивной основе, дается иллюстрация использования определения основного понятия, его свойств с помощью конкретных примеров.

Задачи, помимо использования их как средства иллюстрации вводимого в рассмотрение теоретического материала, служат средством его закрепления, о чем свидетельствуют и их формулировки, например: "Найти такую первообразную функцию, график которой проходит через данную точку".


2. Методическая схема изучения первообразной функции


В школьном учебнике были "испытаны" различные варианты введения понятия интеграла. В первых изданиях учебного пособия (под ред. А.Н. Колмогорова) интеграл определяется с помощью формулы Ньютона-Лейбница (как приращение первообразной), в более поздних изданиях применялось традиционное определение интеграла как предела интегральных сумм.

Методическая схема изучения первообразной:

рассмотреть примеры взаимно обратных операций;

ввести интегрирование как операцию, обратную дифференцированию, а первообразную как результат операции интегрирования;

выполнить упражнения типа: "Доказать, что данная функция Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы есть первообразная другой данной функции Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы", "Решить задачи на отыскание первообразной для данной функции Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы";

ознакомить учащихся с основным свойством первообразной;

составить таблицу первообразных;

ознакомить учащихся с правилами нахождения первообразных;

решить физические задачи с применением первообразной.

Определению первообразной предшествует задача из механики. . Если в начальный момент времени Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы скорость тела равна 0, т.е. Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы, то при свободном падении тело к моменту времени Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы пройдет путь: Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы. Продифференцировав ее, получаем Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы; Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы - ускорение постоянно. Более типично для механики иное: известно ускорение точки Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы, требуется найти закон изменения скорости Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы и координату Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы. Для решения таких задач служит операция интегрирования.

При введении понятия первообразной пользуются аналогией с известными учащимся примерами взаимно обратных операций. Например, операция сложения позволяет по двум данным числам найти третье число – их сумму. Если же известно первое слагаемое и сумма, то второе слагаемое может быть "восстановлено" выполнением операции вычитания. Следовательно, вычитание – операция, обратная сложению, приводящая к единственному результату. Однако такое бывает не всегда. Например, возведение в квадрат числа 3 дает число 9. Пусть теперь известно, что число 9 является квадратом некоторого числа: Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы. Выполнив обратную операцию – извлечение квадратного корня – получаем два значения: 3 и -3.

Дифференцирование функции Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы приводит к новой функции Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы, которая является производной функции Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы Пусть теперь известно, что производная некоторой функции Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы равна Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы, т.е.:Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы; требуется найти функцию Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы.

Операция нахождения функции Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы по ее производной Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы называется интегрированием. Выполняя интегрирование, можем получать следующие результаты: Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы; Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы; Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы и т.д. Функция Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы называется первообразными функции Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы. Таким образом, интегрирование является операцией, обратной дифференцированию; результат операции интегрирования называется первообразной. После этого сообщается определение первообразной: функция Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы.

Перечисленные понятия вводятся на дедуктивной основе, дается иллюстрация использования определения основного понятия, его свойств с помощью конкретных примеров.

Задачи, помимо использования их как средства иллюстрации вводимого в рассмотрение теоретического материала, служат средством его закрепления, о чем свидетельствуют и их формулировки. Например: найти такую первообразную функции, график которой проходит через данную точку.

Целесообразно обратить внимание учащихся на следующее: запись F(x)+c (общий вид первообразных для функции f(x) на заданном промежутке). Она связывает нас, с одной стороны, с произвольным значением постоянной с, а с другой стороны, в зависимости от условия предложенной для решения задачи – с конкретным. С этой целью можно вернуться к анализу решений уже рассмотренных задач. Чтобы показать, что учет конкретных условий задачи влечет обращение к вполне определенной первообразной, можно предложить учащимся найти управление пути, если за 2 секунды тело прошло 15 м.(найти уравнение кривой, проходящей через фиксированную точку А(1;2)).

Решение обеих задач связано с нахождением тех первообразных заданных функций, которые удовлетворяют указанным начальным условиям.

Работа с задачами убеждает учащихся в том, что их решение связано с выделением из множества первообразных данной функции вполне определенных конкретных первообразных (именно с этим мы сталкиваемся при решении задач практического содержания).

Изучение вопроса о правилах отыскания первообразных естественно связать с обращением к двум взаимообратным операциям: дифференцированию и интегрированию.

Например, введение третьего правила (ели F(x)-первообразная для функции f(x),а k(k№0) и b – постоянные, то (1/k)F(kx+b) есть первообразная для функции f(kx+b) ), можно предварить рассмотрением с учащимися следующих задач:

Найти производные функций: sinx; sin4x; sin(4x+3);

Найти хотя бы одну первообразную для функции: cosx; cos4x; cos(4x+3).

Анализ решений этих задач и приводит к формулировке указанного правила нахождения первообразных, доказательство которого можно предложить учащимся провести самостоятельно.


3. Методическая схема изучения теоремы о площади криволинейной трапеции


Центральное место в изучении этой темы является теорема о площади криволинейной трапеции: "Пусть f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a, b] функция, S – площадь соответствующей криволинейной трапеции. Если F есть первообразная для f на отрезке [a, b], то S=F(b)-F(a)."

Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы


С помощью этой теоремы можно обосновать формулу Ньютона-Лейбница. Изучение доказательства проведем методом подготовительных задач.

Приращение аргумента, приращение функции.

Задача: "На рисунке площадь криволинейной трапеции представлена как функция от x. Укажите на этом рисунке


S(x); S(x+Dx); DS=S(x+Dx) – S(x)".

S(x) = a A B x; S(x+Dx) = a A C Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы; DS = x B C Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы;


(необходимо потому, что учащиеся встречаются с новой геометрической интерпретацией уже известных понятий ).

Определение производной.

"Запишите определение производной функции применительно к функции S(x) ". В результате получим запись:


Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы


3. Понятие функции, непрерывной в точке.

"Пусть f(x) – функция, непрерывная в точке x.(см. рисунок) Отметим на оси абсцисс точки x, x+∆x и точку с, лежащую между ними. Пусть ∆x→0. К чему стремится f(c)? Из графических соображений получаем ответ, что если


∆x→0, то с→x, а f(c)→f(x).


4. Утверждение о том, что площадь криволинейной трапеции с основанием ∆x можно заменить равной площадью прямоугольника с тем же основанием ∆x и высотой f(c), где с – некоторая точка отрезка [x; x+∆x].

Существование точки с утверждается теоремой и может быть проиллюстрировано следующими заданиями: "На рисунке дана криволинейная трапеция с основанием ∆x. Построить прямоугольник, у которого основание было бы равно ∆x, а площадь равнялась бы площади криволинейной трапеции." Задание выполняется "на глаз", от руки и преследует цель добиться интуитивного(на наглядно-геометрическом уровне) осознания рассматриваемого факта.

5. Определение первообразной.

"Пусть S(x) – первообразная f(x). Поясните, что это обозначает. Пусть S(x) – одна из первообразных для функции f(x). Запишите формулу для общего вида первообразных функции f(x)"(привычное определение первообразной применяется в новых обозначениях).

Доказательство теоремы целесообразно разбить на три части:

Введём функцию S(x). Рассмотрим функцию S(x), определенную на отрезке [a,b], которая выражает зависимость площади криволинейной трапеции от аргумента x. Дадим аргументу x приращение ∆x, такое, что


Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы.


Тогда приращение функции Элементы интегрального исчисления в курсе средней школыв точке x:

Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы


(∆x полагаем положительным)

2) Докажем что функция S(x) является первообразной для функции


Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы для всех Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы


Согласно определению производной, Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы Так как Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы- площадь криволинейной трапеции с основанием Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы, то её можно заменить равной площадью прямоугольника с основанием Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы и высотой f(c), где


Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы

Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы


Тогда:


Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы


Поскольку с лежит между x и x+∆x, то при ∆x→0 точка с стремится к x, а f(c)→f(x). Эти рассуждения можно записать в одну строчку следующим образом:


Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы


Итак,


Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы.

3) Подведем итоги. Мы доказали , что S(x)– первообразная для f(x) на [a,b]. Но по условию F(x) – также первообразная для f(x) на этом отрезке. Следовательно, функции S(x) и F(x) отличаются друг от друга на некоторую константу С:


Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы (1)


Пусть x=a равенство (1) примет вид: Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы, откуда C=-F(a). При x=b равенство (1) запишется в виде: S=S(b)=F(b)+C=F(b)-F(a). Таким образом, S= F(b)-F(a)

Рассмотрим простейший случай криволинейной трапеции – обычную трапецию. Пусть также трапеция образована графиком функции y=x и прямыми: x=1 и x=2. По формуле площади трапеции, известной из курса планиметрии,


Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы


Первообразная данной функции Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы , а разность


Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы


Таким образом, этот пример подтверждает, что площадь трапеции может быть найдена как приращение первообразной: Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы . Методика использования рассмотренного примера при ознакомлении учащихся с теоремой может быть такой: вначале ставится учебная проблема о нахождении связи между площадью криволинейной трапеции и первообразной; приводится пример, указывающий эту связь; формулируется теорема или сначала сообщается теорема, затем приводится примет, подтверждающий эту теорему.


4. Методическая схема и аспекты введения понятия интеграла в средней школе


Методическая схема введения понятия интеграла.

1)привести подводящую задачу;

2)сформулировать определение интеграла

1) Задачи, подводящие к этому понятию.

Задача№1. На отрезке [a,b] задана непрерывная и неотрицательная функция y=f(x). Укажите новый способ(не связанный с первообразной) нахождения площади S криволинейной трапеции, образованной графиком этой функции и прямых x=a и x=b.

Этапы решения задачи: 1) построение ступенчатой фигуры и вычисление её площади

[a,b] разбиваем на n равных частей: Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы

Одна сторона прямоугольника - Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы, вторая - Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы, поэтому:


Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы


2) Выражение площади Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы криволинейной трапеции через Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы.

Производим деление [a;b] на более "мелкие" части и вычисляем следующее значение Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы. После сравнения получаем: Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы.

Задача№2. Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой мгновенной скоростью Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы, где Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы- непрерывная на отрезке Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы функция. Требуется найти путь, который пройдет материальная точка за промежуток времени от Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы до Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы.

В простейшем случае, когда мгновенная скорость постоянна, путь, пройденный телом, равен произведению его скорости на время движения. В общем случае, когда мгновенная скорость непостоянна, поступают следующим образом:


Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы

Сравнивая результаты решения этих двух задач, формулируем общий метод решения: разбиение отрезка, на котором задана функция, на равные части; составление суммы вида Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы, которая принимается в качестве приближенного значения искомой величины; выполнение предельного перехода: Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы. Такие пределы встречаются при решении многих задач из разных областей науки и техники. Поэтому они получили специальное название "интеграл функции f(x) от a до b" и обозначение Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы. Таким образом, по определению:


Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы,


где f(x) – непрерывная на [a,b] функция; Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы- точки, разбивающие отрезок [a,b] на равные части; Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы- длина каждой из этих частей.

Запишем результаты решенных задач. Площадь криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией f(x) на [a,b], Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы

Путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы до Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы со скоростью Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы, где Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы- непрерывная на отрезке Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы функция,

Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы.


Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции


Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы и Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: