Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы
получаем:
,
где F – первообразная для f на [a,b] – формула Ньютона-Лейбница, позволяющее вычислять интегралы.
Анализ материала учебных пособий, связанных с введением понятия "интеграл" и получением способа вычисления интегралов, приводят к следующим важным в методическом отношении выводам:
определение интеграла и формула Ньютона-Лейбница дают возможность доказать ряд часто применяемых свойств интеграла. В процессе доказательства этих свойств понятие интеграла и его геометрический смысл усваиваются глубже. Можно предложить, например, установить справедливость следующих утверждений:
если функция f имеет на отрезке [a,b] первообразную, то
,
где C – некоторая постоянная;
доказать формулу вычисления производной от интеграла с переменным верхним пределом интегрирования:
,
где f(x) – функция, непрерывная на интервале, содержащем точки a и x.
Предложенные упражнения полезны ещё и потому, что в процессе их решения устанавливаются (и используются) связи между операциями дифференцирования и интегрирования, между понятиями "производная", "первообразная", "интеграл" и их свойствами.
Понятие "интеграла" вводится для функции непрерывной на некотором отрезке (такая функция имеет на этом отрезке первообразную). Сознательному усвоению учащимися этого понятия (и понятия первообразной) будет способствовать специальное привлечение внимания школьников к этому факту. С этой целью могут быть использованы задачи, например, такие:
Возможно
ли вычислить
?
(подынтегральная
функция имеет
точку разрыва
),
принадлежащую
отрезку
).
Найти ошибку в вычислении интеграла:
(о том, что ошибка действительно допущена, свидетельствует результат: интеграл от положительной функции оказался отрицательным числом).
При каких
значениях
пределов
интегрирования
интеграл существует:
?
В точках 5 и –5 подынтегральная функция терпит разрыв; поэтому можно говорить о следующих условиях, которым должны удовлетворять значения пределов интегрирования:
Вычислить: а)
;
б)
;
в)
(в двух последних случаях интегралы не могут быть вычислены, т.к. подынтегральная функция не определена в каждой точке отрезка, заданного проделами интегрирования).
Установление
связи понятий
"интеграл"
и "первообразная"
происходит
через обращения
к площади
соответствующей
криволинейной
трапеции. Уделяя
внимание
геометрическому
смыслу интеграла,
не следует
ограничиваться
только геометрической
иллюстрацией
в процессе
решения задач
на вычисление
интегралов.
Целесообразно
специально
подчеркнуть,
что, опираясь
на геометрический
смысл интеграла,
иногда получаем
возможность:
установить
существование
более простого
по сравнению
с рассмотренным
способом вычисления
интегралов
(например, по
симметричному
относительно
точки 0 промежутку
от четной или
нечетной функции).
Сделать это
можно, обратившись
к задачам: не
только вычислять
площадь фигур,
но и находить
числовые значения
интеграла,
вычисление
которых по
известным
учащимся формулам
выполнить не
удается. Например:
.
Показать, что если f – непрерывная, четная на отрезке [-a,a] функция, то:
.
Показать,
что если f
– непрерывная,
нечетная на
отрезке [-a,a]
функция, то:
.
Вычислить:
;
;
.
Заключение
В качестве основных задач, решённых в процессе изучения темы, можно выделить следующие:
введение понятий первообразной и интеграла;
ознакомление учащихся с основными свойствами первообразных и правилами нахождения первообразных;
раскрытие смысла операции интегрирования как операции, обратной по отношению к операции дифференцирования заданной функции:
провести классификацию типов задач (нахождение площади криволинейной трапеции, нахождение объёма тела, задачи с физическим содержанием), показать, каким образом реализуется метод интегрального исчисления. При этом обратить внимание на выделение в процессе их решения этапов, характеризующих процесс математического моделирования.
Литература
1. К.О. Ананченко "Общая методика преподавания математики в школе", Мн., "Унiверсiтэцкае",1997г.
2.Н.М.Рогановский "Методика преподавания в средней школе", Мн., "Высшая школа", 1990г.
3.Г.Фройденталь "Математика как педагогическая задача",М., "Просвещение", 1998г.
4.Н.Н. "Математическая лаборатория", М., "Просвещение", 1997г.
5.Ю.М.Колягин "Методика преподавания математики в средней школе", М., "Просвещение", 1999г.
6.А.А.Столяр "Логические проблемы преподавания математики", Мн., "Высшая школа", 2000г.