Методы решения задач на построение

Введение

Вся история геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформулированные основоположником научной геометрической системы Евклидом около 300 г. до н.э., ясно показывают какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию», «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать», «Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг» – эти постулаты Евклида явно указывают на основное положение конструктивных методов в геометрии древних.

Древнегреческие математики считали «истинно геометрическими» лишь построения, производимые лишь циркулем и линейкой, не признавая «законным» использование других средств для решения конструктивных задач. При этом, в соответствии с постулатами Евклида, они рассматривали линейку как неограниченную и одностороннюю, а циркулю приписывалось свойство чертить окружности любых размеров. Задачи на построение циркулем и линейкой и сегодня считаются весьма интересными, и вот уже более ста лет это традиционный материал школьного курса геометрии.

Одной из самых ценных сторон таких задач является то, что они развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений, а также более тщательной обработке умений и навыков. А это в свою очередь усиливает прикладную и политехническую направленность обучения геометрии. Задачи на построение не допускают формального к ним подхода, являются качественно новой ситуацией применения изученных теорем и, таким образом, дают возможность осуществлять проблемное повторение. Такие задачи успешно могут быть связаны с новыми идеями школьного курса геометрии (преобразованиями, векторами).

Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает, пожалуй столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков.

Объектом исследования квалификационной работы является процесс обучения геометрии.

Предмет исследования – различные методы решения задач на построение.

Цель данной работы – разработка обучающего модуля по теме «Методы решения задач на построение». Предлагается способ формирования у учащихся знаний и умений через решение системы геометрических задач на построение (коструктивных задач) с помощью различных методов.

Наиболее эффективным способом формирования умений является подбор специальных задач. Кажущаяся простота конструктивной задачи только усиливает к ней интерес учащихся, желание найти решение, которое порой требует умственного напряжения и изобретательности.

1. Основы теории геометрических построений

1.1 Общие аксиомы конструктивной геометрии

Фигурой в геометрии называют любую совокупность точек (содержащую по крайней мере одну точку).

Будем предполагать, что в пространстве дана некоторая плоскость, которую назовем основной плоскостью. Ограничимся рассмотрением только таких фигур, которые принадлежат этой плоскости.

Одна фигура называется частью другой фигуры, если каждая точка первой фигуры принадлежит второй фигуре. Так, например, частями прямой будут: всякий, лежащий на ней отрезок, лежащий на этой прямой луч, точка на этой прямой, сама прямая.

Соединением двух или нескольких фигур называется совокупность всех точек, принадлежащих хотя бы одной из этих фигур.

Пересечением или общей частью двух или нескольких фигур, называется совокупность всех точек, которые являются общими для этих фигур.

Разностью двух фигур Ф и Ф называется совокупность всех таких точек фигуры Ф, которые не принадлежат фигуре Ф.

Может оказаться, что пересечение (или разность) двух фигур не содержит ни одной точки. В этом случае говорят, что пересечение (или соответственно разность) данных фигур есть пустое множество точек.

Раздел геометрии в котором изучаются геометрические построения, называют конструктивной геометрией. Основным понятием коструктивной геометрии является понятие построить геометрическую фигуру.

Если о какой-либо фигуре сказано, что она дана, то при этом естественно подразумевается, что она уже изображена, начерчена, т.е. построена. Таким образом, первое основное требование конструктивной геометрии состоит в следующем:

Каждая данная фигура построена.

Заметим, что не следует смешивать понятия «данная фигура» и «фигура, заданная (или определенная) такими-то данными ее элементами».

Представим себе, что построена полуокружность АmВ (рис. 1), а также построена и полуокружность АnВ. Конечно, после этого надо считать, что построена вся окружность АmВnА. Точно так же, если построен луч АМ некоторой прямой (рис. 2), а затем луч ВN считается, что построена прямая МN, той же прямой, то, естественно, являющаясч соединением этих лучей. Эти примеры разьясняют смысл следующего постулата:

Если построены две (или более) фигуры, то построено и соединение этих фигур.

Представим себе, что построены два отрезка одной прямой: АВ и СD. Естественно, считается возможным ответить на вопрос, принадлежит ли отрезок СD целиком отрезку АВ (рис. 3а) или нет (рис. 3б). Если построена окружность и точка, то при непосредственном рассмотрении чертежа можно ответить на вопрос, лежит ли построенная точка на построенной окружности или нет. Вообще, если построены две фигуры, то считается известным, является ли одна из них частью другой или нет.

Третье основное требование теории геометрических построений можно выразить следующим образом:

3. Если построены две фигуры, то можно установить, является ли их разность пустым множеством или нет.

Пусть А, В, С, D – четыре точки прямой (рис. 4). Допустим, что отрезки АВ и СD построены. Тогда мы, конечно, будем считать построенными как отрезок АВ, который является разностью отрезков АС и ВD, так и отрезок СD, который является разностью отрезков ВD и АС.

4. Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то эта разность построена.

Построив две прямые, мы всегда считаем возможным сказать, пересекаются они или нет. Точно так же, если две окружности построены, то мы считаем возможным установить (по чертежу), имеют ли они общие точки. Это же относится к любым двум построенным фигурам. Таким образом:

5. Если две фигуры построены, то можно установить, является ли их пересечение пустым множеством или нет.

С точки зрения чертежной практики последнее условие отражает определенные требования к качеству выполненных чертежей. Так, например, если построены некоторая окружность и точка, то должно быть ясно, лежит ли точка на окружности или нет. Если построены две окружности, то можно сказать, имеют ли они общие точки или нет.

Обратимся еще раз к рисунку 4. Пусть известно, что построены отрезки АС и ВD. В этом случае мы будем также считать построенным и отрезок ВС, который является пересечением этих двух отрезков. Если начерчены две пересекающиеся окружности, то мы будем считать построенной также пару точек их пересечения. Такого рода соглашения вы ражаются следующим образом:

6. Если пересечение двух построенных фигур не пусто, то оно построено.

В следующих трех основных требованиях говорится о возможностях построения отдельных точек.

7. Можно построить любое конечное число общих точек двух построенных фигур, если такие точки существуют.

8. Можно построить точку, заведомо принадлежащую построенной фигуре.

9. Можно построить точку, заведомо принадлежащую построенной фигуре.

1.2 Задача на построение

Задачей на построение называется предложение, указывающее, по каким данным, какими инструментами, какую геометрическую фигуру требуется построить (начертить на плоскости) так, чтобы эта фигура удовлетворяла определённым условиям.

Решить задачу на построение с помощью циркуля и линейки – значит свести её к совокупности пяти элементарных построений, которые заранее считаются выполнимыми. Перечислим их.

1. Если построены две точки А и В, то построена прямая АВ, их соединяющая, а также отрезок АВ и любой из лучей АВ и ВА (аксиома линейки).

2. Если построена точка О и отрезок АВ, то построена окружность с центром в точке О и радиусом АВ, а также любая из дуг этой окружности.

3. Если построены две прямые, то построена точка их пересечения (если она существует).

4. Если построена прямая и окружность, то построена любая из точек их пересечения (если она существует).

5. Если построены две окружности, то построена любая из точек их пересечения (если она существует).

Сведение решения каждой задачи к элементарным построениям делает решение громоздким. Поэтому часто решение задачи сводят к так называемым основным построениям. Выбор некоторых построений в качестве основных в известной степени произволен. Например, в качестве основных построений можно рассмотреть следующие задачи: деление данного угла пополам; построение отрезка, равного данному; построение угла, равного данному; построение параллельной прямой, построение перпендикулярной прямой, деление отрезка в данном отношении; построение треугольника по трём сторонам, по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам; построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.

Решить задачу на построение – значит найти все её решения.

Последнее определение требует некоторых разъяснений.

Фигуры, удовлетворяющие условию задачи, могут различаться как формой так и размерами, так положением на плоскости. Различия в положении на плоскости принимаются или не принимаются в расчёт в зависимости от формулировки самой задачи на построение, а именно в зависимости от того, предусматривает или не предусматривает условие задачи определённое положение искомой фигуры относительно каких-либо данных фигур. Поясним это примерами.

Рассмотрим следующую простейшую задачу: построить треугольник по трём сторонам и углу между ними. Точный смысл этой задачи состоит в следующем: построить треугольник так, чтобы две стороны его были соответственно равны двум данным отрезкам, а угол между ними был равен данному углу. Здесь искомая фигура (треугольник) связана с данными фигурами (два отрезка и угол) только соотношениями равенства, расположение же искомого треугольника относительно данных фигур безразлично. В этом случае легко построить треугольник АВС, удовлетворяющий условию задачи. Все треугольники, равные треугольнику АВС, также удовлетворяют условию поставленной задачи. Однако нет никакого смысла рассматривать эти треугольники как различные решения данной задачи, ибо они отличаются один от другого только положением на плоскости, о чем в условии задачи ничего не сказано. Будем поэтому считать, что задача имеет единственное решение.

Итак, если условие задачи не предусматривает определённого расположения искомой фигуры относительно данных фигур, то условимся искать только все неравные между собой фигуры, удовлетворяющие условию задачи. Можно сказать, что задачи этого рода решаются «с точностью до равенства». Это означает, что задача считается решённой, если: 1) Построено некоторое число неравных между собой фигур Ф1, Ф2, … Фn, удовлетворяющие условиям задачи, и 2) доказано, что всякая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, равна одной из этих фигур. При этом считается, что задача имеет n различных решений.

Рассмотрим теперь задачу несколько иного содержания: построить треугольник так, чтобы одной его стороной служил данный отрезок ВС, другая сторона была равна другому данному отрезку l, а угол между ними был равен данному углу α.

В этом случае условие задачи предусматривает определённое расположение искомого треугольника относительно одной из данных фигур (именно относительно отрезка ВС). В связи с этим мы иначе смотрим на вопрос о построении всех решений этой задачи. Как видно из рисунка 5, может существовать до четырёх треугольников, удовлетворяющих условию этой задачи. Они равны между собой, но по разному расположены относительно данной фигуры ВС. В этом случае полное решение задачи предусматривает построение всех этих треугольников. Считается, что задача имеет до четырёх различных решений, различающихся своим расположением относительно данной фигуры.

Итак, если условие задачи предусматривает определённое расположение искомой фигуры относительно какой-либо данной фигуры, то полное решение состоит в построении всех фигур, удовлетворяющих условию задачи (если такие фигуры существуют в конечном числе.

1.3 Методика решения геометрической задачи на построение

Вопрос о выборе той или иной схемы решения конструктивной задачи является чисто методическим вопросом.

Решение геометрической задачи является вполне доброкачественным, если оно проведено, например, последующей схеме:

Устанавливается конечное число случаев, исчерпывающих все возможности в выборе данных.

Для каждого случая дается ответ на вопрос, имеет ли задача решение и сколько.

Для каждого случая, когда задача имеет решение, дается способ нахождения (с помощью данных геометрических инструментов) каждого из возможных решений или устанавливается, что оно не может быть получено данными средствами.

Этой схемы придерживаются в научных статьях и монографиях; однако она мало пригодна для учебных целей, особенно в условиях средней школы.

При решении каждой сколько-нибудь сложной задачи на построение возникает вопрос о том, как нужно рассуждать, чтобы разыскать способ решения задачи, чтобы получить все решения задачи, чтобы выяснить условия возможности решения задачи и т.п. Поэтому при решении конструктивных задач в учебных условиях рекомендуется пользоваться известной схемой решения, состоящей из следующих четырех этапов: 1) анализ; 2) построение; 3) доказательство; 4) исследование.

Конечно, эта схема не является безусловно необходимой и неизменной, не всегда удобно и целесообразно строго разделять отдельные ее этапы и в точности осуществлять их в указанном порядке. Но по большей части указанная схема серьезно помогает при решении конструктивных задач. Рассмотрим каждый этап этой схемы.

Анализ. Это подготовительный и в то же время наиболее важный этап решения задачи на построение, так как именно он дает ключ к решению задачи. Цель анализа состоит в установлении таких зависимостей между элементами искомой фигуры и элементами данных фигур, которые позволили бы построить искомую фигуру. Это достигается с помощью построения чертежа-наброска, изображающего данные и искомые примерно в том расположении, как это требуется условием задачи. Этот чертеж можно выполнять «от руки». Иногда построение чертежа сопровождают словами: «предположим, что задача уже решена».

На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения искомой фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанных в условии задачи. Например, если нужно построить треугольник по биссектрисе, медиане и высоте, проведенным из одной вершины, то при анализе удобнее сначала изобразить произвольный треугольник, а затем уже проводить в нем указанные в задаче линии.

Если вспомогательный чертеж не подсказывает непосредственного способа построения искомой фигуры, то пытаются обнаружить какую-либо часть искомой фигуры или вообще некоторую фигуру, которая может быть построена и которой затем можно воспользоваться для построения искомой фигуры. В более общем случае рассуждение ведется следующим образом. Подмечают, что построение искомой фигуры Ф сводится к построению некоторой другой фигуры Ф. Затем подмечают, что построение фигуры Ф сводится к построению фигуры Ф и т.д. После конечного числа шагов можно прийти к некоторой фигуре Ф, построение которой уже известно.

Пусть, например, требуется построить треугольник по основанию и по медиане и высоте, проведенным к этому основанию. Рассматривая вспомогательный чертеж (рис. 5), замечаем, что треугольник АВС можно легко построить, если будет построен треугольник ВDE: тогда останется только отложить по обе стороны от точки Е на прямой DE отрезки, равные половине данного основания. Но треугольник ВDE прямоугольный и строится по гипотенузе m и катету h.

Полезно учесть следующие частные замечания, помогающие при проведении анализа.

1) Если на вспомогательном чертеже не удается непосредственно заметить необходимые для решения связи между данными и искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертеж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т.д. Иногда бывает полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым.

Пусть, например, требуется построить прямую, проходящую через данную точку А и равноудаленную от двух данных точек В и С. Построение чертежа – наброска удобно начать с искомой фигуры: строим сначала прямую а (рис. 6), на ней выбираем точку А и на равных расстояниях от прямой а выбираем (по разные стороны от прямой) точки В и С.

После этого еще не возникают на чертеже такие связи, которые позволили бы решить задачу. Проведем к прямой а перпендикуляры ВВ и СС, построим отрезок ВС и отметим точку М пересечения отрезка ВС с прямой а. Легко заметить, что М – середина отрезка ВС, а отсюда уже ясен способ построения.

2) Если по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует изобразить на вспомогательном чертеже, если их еще нет на нем.

3) В процессе проведения анализа бывает полезно вспомнить теоремы и раннее решенные задачи, в которых встречаются зависимости между элементами, сходные с теми, о которых говориться в условии рассматриваемой задачи.

4) Проводя анализ на основании изучения некоторого чертежа – наброска, мы невольно связываем свои рассуждения в известной мере с этим чертежом. Так, в примере, иллюстрирующем пункт 1), мы избрали точки В и С по разные стороны от прямой а, а в то время как можно было избрать их и по одну сторону от этой прямой. Тот способ решения, к которому мы приходим на основании анализа, может поэтому оказаться пригодным лишь для некоторых частных случаев. Чтобы получаемый нами способ решения был пригоден для возможно более широкого выбора данных, желательно изображать искомую фигуру в возможно более общем виде. Например, искомый треугольник, если в условии задачи нет специального указания о его форме, надо изображать как разносторонний, четырехугольник – как неправильный и т.п. Чем более общий случай мы разберем при анализе, тем проще будет провести в дальнейшем полное решение задачи.

Рассмотрим еще один пример анализа. Требуется вписать окружность в данный треугольник. Пусть АВС – данный треугольник (рис. 7). Чтобы вписать в него окружность, надо определить положение ее центра и найти величину радиуса.

Представим себе, что точка О – центр вписанной окружности, а ОМ – радиус проведенный в какую-либо из точек касания окружности к сторонам треугольника (например, в точку касания окружности к стороне АВ). Тогда отрезок ОМ перпендикулярен к прямой АВ. Поэтому ОМ – расстояние центра вписанной окружности от стороны треугольника АВ. Так как все радиусы окружности равны, то центр окружности одинаково удален от всех сторон треугольника и, следовательно, прямые ОА, ОВ и ОС служат биссектрисами (внутренних) углов треугольника АВС. Этих соображений, очевидно, достаточно для построения центра и определения радиуса искомой окружности.

2. Построение. Данный этап решения состоит в том, чтобы указать последовательность основных построений (или раннее решенных задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена.

Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого его шага с помощью инструментов, принятых для построения.

В качестве примера обратимся опять к задаче о построении окружности, вписанной в данный треугольник АВС. Как показывает проведенный выше анализ этой задачи, для построения искомой окружности нужно последовательно построить (см. рис. 7):

биссектрисы каких-либо двух внутренних углов данного треугольника;

точку их пересечения О;

прямую, проходящую через точку О, перпендикулярно прямой АВ;

основание М проведенного перпендикуляра;

окружность (О, ОМ).

3. Доказательство. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям.

Так, чтобы провести доказательство правильности приведенного выше построения окружности, вписанной в данный треугольник, надо установить, что построенная нами окружность (О, ОМ) действительно коснётся всех сторон треугольника АВС. Для этого, прежде всего заметим, что прямая АВ касается проведённой окружности, так как эта прямая перпендикулярна к радиусу ОМ.

Вместе с этим ясно, что радиус окружности равен расстоянию её центра от стороны АВ данного треугольника АВС. Далее замечаем, что центр окружности О одинаково удалён от всех сторон треугольника, так как лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Следовательно, расстояние центра окружности от стороны АС или от стороны ВС также равно радиусу построенной окружности, так что если провести через О перпендикуляры к сторонам треугольника АС и ВС, то основания этих перпендикуляров (точки N и Р на рис. 8) расположатся на той же окружности.

Таким образом, каждая из прямых АС и ВС перпендикулярна к соответствующему радиусу в конце его, лежащем на окружности, и поэтому каждая из этих прямых касается построенной окружности.

Доказательство обычно проводится в предположении, что каждый шаг построения действительно может быть выполнен.

4. Исследование. При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно ещё выяснить следующие вопросы:

всегда ли (т.е. при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом;

можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить;

сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных.

Рассмотрение всех этих вопросов и составляет исследование. Таким образом, исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений.

Иногда ставится также задача: выяснить при каких условиях искомая фигура будет удовлетворять тем или иным дополнительным требованиям. Например, может быть поставлен вопрос: при каких условиях искомый треугольник будет прямоугольным или равнобедренным? Или такой вопрос: при каких условиях искомый четырёхугольник окажется параллелограммом или ромбом?

Нередко школьники проводят исследование, в известной мере произвольно выбирая те или иные случаи, причём неясно, почему рассматриваются именно такие, а не какие-либо иные случаи. Остаётся неясным также, все ли возможные случаи рассмотрены. При исследовании решения какой-либо сложной задачи такой подход может привести к потере решений, к тому, что некоторые случаи не будут рассмотрены.

Чтобы достигнуть необходимой планомерности и полноты исследования, рекомендуется проводить исследование «по ходу построения». Сущность этого приёма состоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из которых слагается построение, и относительно каждого шага установить, всегда ли указанное на этом шаге построение выполнимо, а если выполнимо, то сколькими способами.

Для этого необходимо:

Выяснить, всегда ли существуют в действительности точки, прямые, окружности или другие фигуры, построение которых предполагается осуществить на каждом шаге намеченного построения, или же их существование зависит от специального выбора положения или размеров тех или иных фигур. Например, если предполагается построить точки пересечения окружности с прямой, то надо заметить, что существование таких точек зависит от соотношения между радиусом этой окружности и расстоянием центра окружности от прямой.

Дальнейшее исследование надо проводить только для тех случаев, когда построение возможно, т.е. когда каждый шаг действительно приводит к построению искомых фигур.

Для каждого случая, когда решение существует, определить, сколько именно точек, прямых, окружностей и т.д. даёт каждый шаг построения. Например, если строятся точки пересечения окружности и прямой, то надо учесть, что таких точек будет две, если радиус окружности больше расстояния от центра до прямой, и одна, если радиус окружности равен расстоянию центра от прямой.

Учитывая результаты исследования каждого шага, обратиться к задаче в целом и установить, при каких условиях расположения денных фигур или при каких соотношениях их размеров задача действительно имеет решение, а при каких его не существует. Если возможно, выразить условия разрешимости формулой (в форме неравенств или равенств).

Определить число возможных решений при каждом определённом предположении относительно данных, при котором эти решения существуют.

В итоге таких рассуждений решается вопрос о возможности построения данным способом. Но остаётся ещё открытым вопрос: не возникнут ли новые решения, если изменить как-либо способ построения? Иногда удастся доказать, что всякое решение данной задачи совпадает с одним из уже полученных решений; в этом случае исследование можно считать законченным. Если же это не удаётся, то можно предположить, что задача имеет другие решения, которые могут быть найдены другими способами. В этих случаях полезно ещё раз обратиться к анализу и проверить, нет ли каких-либо иных возможных случаев расположения данных или искомых фигур, которые не были предусмотрены ранее проведённым анализом.

2. Основные методы решения задач на построение

2.1 Метод параллельного переноса

Часто построение фигуры становится затруднительным только от того, что части этой фигуры слишком удалены друг от друга, и поэтому трудно ввести в чертёж данные. В этих случаях какую-либо часть искомой фигуры переносят или параллельно самой себе, или другим образом, но на такое расстояние, чтобы вновь полученная фигура могла быть построена или непосредственно, или легче, чем искомая фигура. Направление такого переноса зависит от условия задачи и должно быть выбрано так, чтобы во вновь полученную фигуру вошло, по возможности, большее количество данных.

Пример 1. Постройте трапецию по заданным сторонам.

Решение. Анализ. Пусть трапеция АВСD построена, ВС= а, АD= b, AB= c, CD= d (рис. 8). Выполним параллельный перенос, определяемый вектором СВ. Тогда сторона СD перейдёт в BD. Треугольник АВD можно построить по трём сторонам c, d, b-a (b>a).

Затем продолжим отрезок АD на DD = a. Через точку В проведем прямую, параллельную АD и на ней отложим отрезок ВС= а. Соединим точки С и D. Полученная трапеция АВСD – искомая.

План построения очевиден.

Доказательство. В четырехугольнике АВСD BC параллельна AD, значит ABCD – трапеция в которой AB = c, AD =b, так как AD= b – a + a. BD= CD = d.

Исследование. Треугольник ABD можно построить по трём сторонам, если c – d < b – a < c