Xreferat.com » Рефераты по педагогике » Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики

Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра МПМ


Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики

Реферат


Исполнитель:

Студентка группы М-42 Головачева А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т.


Гомель 2007


Содержание


Введение

1. Методика введения понятий синуса, косинуса и тангенса на геометрическом материале. Основные тригонометрические тождества

2. Методика введения определений тригонометрических функций углов от 0° до 180°

3. Методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры

4. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнения и неравенства и методика обучения решению

Заключение

Литература


Введение


Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций такова: 1) вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника; 2) затем введенные понятия обобщаются для углов от 00 до 1800; 3) тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.

Первые два этапа реализуются в курсе планиметрии. Геометрический характер определений тригонометрических функций объясняет тот факт, что они составляют единственный вид функций, который начинают изучать не в курсе алгебры, а в курсе геометрии. Для геометрии важен "общефункциональный взгляд" на тригонометрические функции, а их прикладная сторона (решение прямоугольных треугольников, применение некоторых тригонометрических тождеств, теорем cos и sin, решение произвольных треугольников). Поэтому в курсе планиметрии нет термина "тригонометрические функции".


1. Методика введения понятий синуса, косинуса и тангенса на геометрическом материале. Основные тригонометрические тождества


Знакомство с тригонометрическим материалом начинается в курсе геометрии при знакомстве с прямоугольным треугольником. Понятия Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики и Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики острых углов треугольника вводится для углов от Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики до Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, как отношение сторон этого треугольника. Предварительно учащиеся должны усвоить названия сторон прямоугольного треугольника: катеты (стороны прямого угла) и гипотенуза (сторона противолежащая прямому углу). Для этого необходимо предложить учащимся прямоугольные треугольники, разнообразные по расположению вершин прямого угла и предложить назвать стороны треугольника.


Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики


Назовите катеты в Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиABC, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиAPN. Назовите гипотенузы в Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиLKM и Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиEFA. Будут ли гипотенузами следующие отрезки: AB, KL, AP, AN, EF, FA в указанных треугольниках и почему?

Следующие выражения "прилежащий" и "противолежащий" отрабатываются на следующем этапе. Для этого необходимо по указанным треугольникам предложить учащимся назвать прилежащие и противолежащие острым углам катеты. Назвать отрезки: KL, PN, EA и попросить учащихся назвать те углы, против которых лежат эти катеты или, которым они прилегают.

Первым вводится понятие Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиугла и доказывается теорема: " Косинус угла зависит от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника". Это определение уже " работает" при доказательстве теоремы Пифагора.

С остальными понятиями учащиеся знакомятся в пункте " Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике". sin Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, tg Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики


Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики


Формируется свойство: синус и тангенс угла так же, как и косинус, зависят от величины угла.

Для синуса это доказывается так:


Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики=Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиИзучение тригонометрического материала в школьном курсе математики,


так как косинус зависит только от величины угла, то и синус зависит только от величины угла.

Из определений Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики и Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики получаем следующие правила:

Катет, противолежащий углу Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, равен произведению гипотенузы на синус Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики;

Катет, прилежащий к углу Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, равен произведению гипотенузы на косинус Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики;

Катет, противолежащий углу Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, равен произведению второго катета на тангенс Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики.

По этим правилам можно находить неизвестные элементы в прямоугольном треугольнике.

Перечисленные правила могут быть выведены учащимися самостоятельно. Для этого предлагаются вопросы: В прямоугольном треугольнике MNP, LN=Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, LM=Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, гипотенуза MP=m. Найти длины катетов этого треугольника. ( Задача решается по определению).

Раньше по программе тригонометрические функции и соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике изучались в курсе 8 класса.

После введения понятий Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики и Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики рассматривались решения основных задач, связанных с отысканием длин сторон и величин углов в прямоугольном треугольнике.

Задача №1. Дано: a, b. Требуется найти Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиA, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиB, c.

Задача №2. Дано: a, c. Требуется найти Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиA, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиB, b.

Задача №3. Дано: a, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиA. Требуется найти Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиA, b, c.

Задача №4. Дано: a, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиB. Требуется найти Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиA, b, c.

Задача №5. Дано: a, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиA. Требуется найти Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиB, a, b.

По действующей программе эти задачи в курсе 8 класса (бывший 7 класс) заменены такой: В прямоугольном треугольнике даны: гипотенуза c и острый угол Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики. Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.

Вводятся основные тригонометрические тождества:


Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики.


В частности, основное тригонометрическое тождество выводится из формулировки теоремы Пифагора:


Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики.


Учащиеся знакомятся с некоторыми свойствами функций острого угла: 1) при возрастании острого угла Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики и Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики возрастают, а Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики- убывает; 2) для любого острого угла Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики: Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики; которые формулируются как теоремы. Их доказательство связывается с соотношениями острых углов в прямоугольном треугольнике:


Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики


Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, тогда Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики.

Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики,


тогда из равенства правых частей получаем:


Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики.

Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, тогда Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики.


Вывод свойства возрастания и убывания выглядит так:


Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики


Пусть Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики и Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики- острые углы, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики и Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, и она пересекает стороны угловИзучение тригонометрического материала в школьном курсе математики и Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики в точках Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики и Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики соответственно.

Так как Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, то точка Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики лежит между точками Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики и Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, тогда Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики. А значит, по свойству наклонных, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики(через сравнение их проекций). Так как Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, то косинус убывает. А так как Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, то синус возрастает.


2. Методика введения определений тригонометрических функций углов от Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики до Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики


Расширение области определения тригонометрических функций от Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики до Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики происходит в теме: "Декартовы координаты на плоскости".


Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики


Рассмотрим окружность с центром в начале координат произвольного радиуса R. Откладываем в полуплоскость Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики угол Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики. Пусть точка Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики имеет координаты Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики и Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики. Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиИзучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, то из треугольника Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики: Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики.

Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики Определяются значения Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики и Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики этими формулами для любого угла α (для Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики0-исключается).


Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики


Можно найти значения этих функций для углов 900, 00, 1800. Доказывается, что для любого угла α , 00<α<1800, Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики.

Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиИзучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиповернем подвижный радиус на угол 1800-α=Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики

Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиИзучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиИзучение тригонометрического материала в школьном курсе математики по гипотенузе и острому углу: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=>


Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиИзучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиИзучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиИзучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиИзучение тригонометрического материала в школьном курсе математикиИзучение тригонометрического материала в школьном курсе математики


Итак, в школьном курсе геометрии понятие тригонометрической функции вводится геометрическими средствами ввиду их большей доступности.

Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций такова: 1) вначале определяются тригонометрические функции

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: