Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики

для острого угла прямоугольного треугольника; 2) затем введенные понятия обобщаются для углов от 00 до 1800; 3) тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.

Первые два этапа реализуются в курсе планиметрии. Геометрический характер определений тригонометрических функций объясняет тот факт, что они составляют единственный вид функций, который начинают изучать не в курсе алгебры, а в курсе геометрии. Для геометрии важен "общефункциональный взгляд" на тригонометрические функции, а их прикладная сторона (решение прямоугольных треугольников, применение некоторых тригонометрических тождеств, теорем cos и sin, решение произвольных треугольников). Поэтому в курсе планиметрии нет термина "тригонометрические функции".

Конкретизировать, например, понятие cos острого угла прямоугольного треугольника, можно по следующей методической схеме:

построить на миллиметровой бумаге прямоугольный треугольник ABC;

обозначить величину острого угла А буквой α;

измерить (по клеткам) прилежащий катет АС и гипотенузу АВ;

вычислить отношение

записать значение cos α (делается следующая запись cos α ≈ в которой для α не указывается его конкретное значение);

измерить транспортиром угол α, найти его величину и записать значение косинуса этого угла данного прямоугольного треугольника.

Определенные трудности в изучение элементов тригонометрии (по Пифагору) порождает теорема: "Косинус угла α зависит только от градусной меры угла". Необходимость изучения данной теоремы можно разъяснить учащемуся так: Пусть требуется на основании определения найти cos 370. Предположим, что это задание выполняют отдельно друг от друга несколько человек. Чтобы найти cos 370, они построят прямоугольный треугольник (каждый свой) с углом в 370, измерят прилежащий катет и гипотенузу, найдут отношение прилежащего катета к гипотенузе. Полученное число и будет являться cos 370. Есть ли гарантия, что каждый ученик получит один и тот же ответ? Этот вопрос возникает по той причине, что каждый строит свой треугольник, получает свои значения длин прилежащего катета и гипотенузы. Так, может быть, и искомое отношение у каждого ученика будет какое-то свое? Понятно, что если бы значение cos 370 при переходе от одного прямоугольного треугольника к другому изменялось, то ценность такого понятия в математике была бы не велика. Изучаемая терема является ответом на поставленные вопросы. Она утверждает, что косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольного треугольника, а только от меры угла.

При решении прямоугольных треугольников необходимо обратить внимание учащегося на тот факт, что с каждой из формул для cos, sin и tg α связывается еще две формулы:

Определение cos, sin, tg углов от 00 до 1800 являются генетическими, т.к. в них указываются построения и вычисления, позволяющие найти значение тригонометрической функции.

В пособие говорится следующее (стр. 132, 1, 2 абзац), обратите внимание учащихся на следующее обстоятельство. Ранее для острых углов были установлены некоторые тригонометрические тождества. "Справедливы ли эти тождества для углов от 00 до 1800. Справедливы ли прежние доказательства этих тождеств или необходимо привести новые?"

Сравним доказательства основного тригонометрического тождества: для острых углов и для углов от 00 до 1800:

00<α<900	00≤α≤1800
1	1
2	2
3	3

В курсе "Алгебра 9" обобщается определение cos, tg и sin α на случай произвольного угла α и вводится понятие ctg α. Возможность такого обобщения – во введении понятия угла поворота, положительного и отрицательного угла, понятия полного оборота. Доказывается, что тригонометрические функции, их значение, не зависит от длины радиуса.

Здесь же приведены с доказательствами основные тригонометрические формулы, формулы сложения и их следствия.

3. Методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры

Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций:

в начале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника;

затем введенные понятия обобщаются для углов от до ;

тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.

В курсе алгебры и начала анализа осуществляется заключительный этап изучения, который включает:

Закрепление представлений учащихся о радианной мере угла; отработка навыков перехода от градусной меры к радианной и наоборот;

Формирование представлений об углах с градусной мерой, большей ; формирование представлений об углах с положительной и отрицательной градусными мерами; перевод этих градусных мер в радианы (положительные и отрицательные действительные числа);

Описание тригонометрических функций на языке радианной меры угла;

Утверждение функциональной точки зрения на , , и (трактовка , , и как функций действительного аргумента, установление области определения, области значений, построение графика функции, установление промежутков монотонности, знакопостоянства и т.д.);

Повторение известных и ознакомление с новыми тригонометрическими тождествами, ключом которых является тождество ;

Применение тригонометрических тождеств в тождественных преобразованиях и при решении задач по стереометрии.

В курсе "Алгебра 9" учащиеся знакомятся с функциональной точкой зрения. Выражения и определимы при , т.к угла поворота можно найти соответствующее значение дробей и . Выражение имеет смысл при , кроме углов поворота , , …, т.к. имеет смысл дробь .

Каждому допустимому значению соответствует единственное значение , , и . Поэтому , , и являются функциями угла . Их называют тригонометрическими функциями.

Учащиеся знакомятся со следующими общефункциональными свойствами этих функций:

область значения и - , для и - множество всех действительных чисел

промежутки знакопостоянства: , то значит зависит от знака и т.д.

, и являются нечетными функциями, а является четной функцией

при изменении угла на целое число оборотов значение , , , не изменится (под обратным понимаем поворот на ).

Введение радианной меры угла основывается на том факте, что отношения длины окружности к её радиусу постоянно для данного центрального угла и не зависит от выбора концентрических окружностей. По этой причине меру центрального угла можно охарактеризовать действительным числом . Если положить равным 1, то радианная мера центрального угла равна 1, т.е. .

Тогда для каждого угла, заданного в градусах, достаточно вычислить соответствующую дугу единичной окружности. Длина такой дуги будет выражать меру данного угла в радианах.

Радианная мера угла позволяет любому действительному числу поставить в соответствие определенную градусную меру угла по формуле: , где .

Переход от радианной меры угла к действительному числу осуществляется на основании того, что . Учащимся следует показать изменение величин углов по координатным углам:

1 четверть: , ;

2 четверть: , ; и т.д.

Определение тригонометрической функции выглядит так:

Опр. Окружность радиуса 1 с центром в начале координат называют единичной

окружностью. Пусть точка единичной окружности получена при повороте точки на угол в радиан. Ордината точки - это синус угла . Числовая функция, заданная формулой , называется синусом числа, каждому числу ставится в соответствие число .

Устанавливаются области определения и значения функций, напоминаются свойства:

; .

Построим график функции на .

Делим единичную окружность и отрезок на 16 равных частей.

Через точку проводим прямую, параллельную . Проводим прямую до пересечения с построенной прямой. Получим одну из точек графика функции , называемого синусоидой.

Отрезок оси , с помощью которого находятся значения синуса, называется линией синусов.

Для построения графика синуса вне этого отрезка заметим, что . Поэтому во всех точках вида , где , значения синуса совпадают, и, следовательно, график синуса на всей прямой получается из построенного графика с помощью параллельных переносов его вдоль оси .

Для построения графика косинуса следует вспомнить, что . Следовательно, значение косинуса в произвольной точке равно значению синуса в точке