Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики
Для функций и определяется аналогично. Область определения - множество всех чисел, где .
Построение графика: проведем касательную к единичной окружности в точке .
Пусть произвольное число, для которого . Тогда точка не лежит на оси ординат, и, следовательно, прямая пересекает в некоторой точке с абсциссой 1. Найдем ординату этой точки. Для этого заметим, что прямая проходит через точки и . Поэтому она имеет уравнение .
Абсцисса точки , лежащей на этой прямой, равна 1. Из уравнения прямой находим, что ордината точки равна . Итак, ордината точки пересечения прямых и равна . Поэтому прямую называют линией тангенсов.
Нетрудно доказать, что абсцисса точки пересечения прямой с касательной m к единичной окружности, проведённой через точку , равна при .
Поэтому прямую m называют линией котангенсов.
Область значений - вся числовая прямая. Докажем это для функции . Пусть - произвольное действительное число. Рассмотрим точку . Как только что было показано, равен . Следовательно, функция принимает любое действительное значение , ч.т.д.
Построение графика аналогично построению .
Можно построить схему, позволяющую изобразить график тригонометрических функций:
Начертить единичную окружность, горизонтальный диаметр которой служит продолжением оси . Разделить её на равные части (например,16).
Для функции выбираем отрезок , для функции - и делим их на то же равное число частей.
По окружности находим соответствующее число значений этих функций.
Точки пересечения горизонтальных линий, отвечающих значениям функций и вертикальных линий, отвечающих значениям аргумента, представляют собой точки графика.
4. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнения и неравенства и методика обучения решению
Тригонометрический материал изучается в школьном курсе в несколько этапов.
Функции тригонометрических функций для углов от до
(прямоугольный треугольник, планиметрия);
Тригонометрические функции для углов от до (тема: "Декартовы координаты на плоскости; геометрия");
Тригонометрические функции для любого действительного числа.
Параллельно изучению теоретического материала учащиеся знакомятся с тригонометрическими формулами, объём которых будет постепенно рассширяться. Умение "выделить" эти формулы в дальнейшем поможет в преобразовании тригонометрических выражений.
К обязательным результатам обучения за курс геометрии в 7-9 классах относиться умение решать типичные задачи на вычисление значений геометрических величин (длин, углов, площадей) с привлечением свойств фигур, аппарата алгебры и тригонометрии.
Например:
В прямоугольном треугольнике найдите катеты, если его гипотенуза равна 5 см, а один из углов равен .
В прямоугольном треугольнике катет равен 4 см, а прилежащий к нему угол равен . Найдите другой катет и гипотенузу.
В треугольнике ABC: AB=3см, BC=6 см, . Определите .
В треугольнике ABC известны стороны: AB=4 см; BC=5 см; AC=6 см.
Найдите угол B.
Существуют различные доказательства формулы косинуса суммы двух аргументов.
Одно из наиболее простых доказательств основано на применении системы координат и формулы расстояние между двумя точками. Воспроизвести доказательство по опорному конспекту:
;
;
;
;
.
;
, ч.т.д.
; и.
С другой стороны:
и
и и
- теорема сложения.
и по доказанной формуле.
Для доказательства суммы и разности двух углов используются формула приведения, которые помогают преобразовать функции от аргументов вида:
, , , .
Проведём радиус , длина которого равна , на угол : и получили радиус , где и на угол и получим радиус , где .
, : , .
- прямоугольник. Повернём его на угол вокруг точки :
; ; , т.е.
; , т.е:
; , по
Аналогично:
Тогда:
и т.д.
К функциям от углов можно прийти и из геометрических соображений.
Формулы приведения для и выводится из определения этих функций и ранее полученных формул приведения для синуса и косинуса. После этого полученные результаты сводятся в одну таблицу, с помощью которой можно сформулировать мнемоническое правило. Желательно учащимся предложить алгоритм применения формул приведения. Поясним его на примере: