Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики
- II четверть;
определяем
знак данной
функции в этой
четверти – "
- ". Изменяется
ли название
функции – нет,
поэтому:}
= - cos
.
Вернёмся к выводу формулы синуса суммы и разности двух углов.
,
а затем применяется уже известная формула.
Формулы
двойного угла
выводятся из
формулы синуса
и косинуса
суммы и разности
двух углов,
положив
.
Сумму и разность тригонометрических функций можно преобразовать в произведение, используя следующий пример:
={
,
}=
=
,
но:
Таким образом:
Замечание: при ознакомлении учащихся с формулами следует добиваться от них проговаривания словесных формулировок доказываемых формул.
Например: сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.
В курсе алгебры 9 класса изучается тема: "Элементы тригонометрии" (30 часов):
1) радианное измерение углов, sin, cos, tg произвольного угла, их нахождение с помощью калькулятора;
2) основные тригонометрические тождества:
Их применение для вычисления значений sin, cos, tg;
3) формулы приведения; sin, cos суммы и разности двух углов; sin и cos двойного угла;
4) тождественные преобразования тригонометрических выражений; основная цель – сформировать умения выполнять тождественные преобразования несложных тригонометрических выражений с использованием формул, указанных в программе:
Рассмотрим некоторые примеры преобразований тригонометрических выражений:
Задача №1.
Доказать тождество:
Преобразуем левую часть и получим, применив формулы приведения:
8
cos4+sin8=2sin8cos4+2sin4cos4=2cos4(sin8+sin4)=4cos4sin6cos2,
и т.д.
Задачи №2.
Упростить выражение
а)
Можно применить формулы понижения степени:
=
{воспользуемся
преобразованием
разности косинусов
в произведение
по формуле:
}
=
б)
Задача №3
Преобразовать в произведение:
а)
cos5+sin8+cos9+cos12=(cos5+cos12)+(cos8+cos9)=
=2cos17/2cos7/2+2cos17/2cos/2=2cos17/2(cos7/2+cos/2)=
=4cos17/2cos2cos3/2=4cos3/2cos2cos17/2
б)
3+4cos4+cos8=3(1+cos4)+(cos4+cos8)=6cos22+
+2cos6cos2=2
cos2(3cos2+cos6)=2cos2((cos2+|cos6)+
+2cos2)=2cos2(2cos4cos2+2cos2)=4cos22(cos4+cos2
)=
=4cos22cos22=8cos42
Задача №4
Найти sin4+cos4,
если известно,
что:
sin-cos=1/2
sin4+cos4=(sin2
+cos2)2-2sin2cos2=1-2sin2cos2=
=1-1/2sin22={sin4-cos=1/2
(sin-cos)2=
=1-2sincos=1/4sin2=3/4}=
Задача №5
Вычислить:
sin
=-cos(2arctg4/3)={обозначим
arctg4/3 через
y, тогда
получим cos2y,
который нужно
преобразовать
в тангенс половинного
угла. Применим
формулу
и получим}=
Заключение
Определенные трудности в изучение элементов тригонометрии (по Пифагору) порождает теорема: "Косинус угла α зависит только от градусной меры угла". Необходимость изучения данной теоремы можно разъяснить учащемуся так: Пусть требуется на основании определения найти cos 370. Предположим, что это задание выполняют отдельно друг от друга несколько человек. Чтобы найти cos 370, они построят прямоугольный треугольник (каждый свой) с углом в 370, измерят прилежащий катет и гипотенузу, найдут отношение прилежащего катета к гипотенузе. Полученное число и будет являться cos 370. Есть ли гарантия, что каждый ученик получит один и тот же ответ? Этот вопрос возникает по той причине, что каждый строит свой треугольник, получает свои значения длин прилежащего катета и гипотенузы. Так, может быть, и искомое отношение у каждого ученика будет какое-то свое? Понятно, что если бы значение cos 370 при переходе от одного прямоугольного треугольника к другому изменялось, то ценность такого понятия в математике была бы не велика. Изучаемая терема является ответом на поставленные вопросы. Она утверждает, что косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольного треугольника, а только от меры угла.
Литература
1. К.О. Ананченко "Общая методика преподавания математики в школе", Мн., "Унiверсiтэцкае",1997г.
2.Н.М.Рогановский "Методика преподавания в средней школе", Мн., "Высшая школа", 1990г.
3.Г.Фройденталь "Математика как педагогическая задача",М., "Просвещение", 1998г.
4.Н.Н. "Математическая лаборатория", М., "Просвещение", 1997г.
5.Ю.М.Колягин "Методика преподавания математики в средней школе", М., "Просвещение", 1999г.
6.А.А.Столяр "Логические проблемы преподавания математики", Мн., "Высшая школа", 2000г.