Моделирование нагрева асинхронного двигателя
.
(2.14)
Обозначим:
;
(2.15)
;
(2.16)
;
(2.17)
;
(2.18)
.
(2.19)
Ниже будет показано, что потери в роторе Ррот пропорциональны току статора, что позволяет объединить Рм и Ррот (2.18), Рст и Ррот (2.19).
Выражения (2.15) – (2.19) позволяют определить коэффициенты теплоотдачи и потери, необходимые для построения тепловой модели асинхронного двигателя, используя тепловые сопротивления эквивалентной тепловой схемы двигателя.
2.2.2 Расчет тепловых сопротивлений
Тепловые сопротивления для эквивалентной тепловой схемы рассчитываются по методике, приведенной в [2].
1) Сопротивление аксиальное меди статора (тепловое сопротивление между пазовой и лобовой частями обмотки)
,
(2.20)
где lп – длина паза, м;
lл – средняя длина одной лобовой части, м;
λм – коэффициент теплопроводности меди, Вт/(м∙0С);
Fм – площадь поперечного сечения меди в пазу, м2;
Z1 – число пазов статора.
2) Тепловое сопротивление между медью статора и внутренним воздухом
,
(2.21)
где R'л,вш – тепловое сопротивление внешней (обращенной к станине) продуваемой лобовой части обмотки, 0С / Вт;
R''л,вш – тепловое сопротивление внешней (обращенной к станине) непродуваемой лобовой части обмотки, 0С / Вт;
R'л,вт – тепловое сопротивление внутренней (обращенной к станине) продуваемой лобовой части обмотки, 0С / Вт;
R''л,вт – тепловое сопротивление внутренней (обращенной к станине) непродуваемой лобовой части обмотки, 0С / Вт.
Тепловое сопротивление между внешней продуваемой лобовой частью обмотки и внутренним воздухом:
,
(2.22)
где bп – средняя ширина паза, м;
hп,эф – эффективная по меди высота паза, м;
lл,п – продуваемая длина лобовой части, м;
δокр – толщина окраски лобовых частей, м;
λокр – коэффициент теплопроводности окраски лобовых частей, Вт/(м∙0С);
Z1 – число пазов статора;
λэкв – эквивалентный коэффициент теплопроводности обмотки, Вт/(м∙0С);
αл,вш – коэффициент теплоотдачи внешней поверхности лобовых частей обмотки статора, Вт/(м2∙0С).
Эквивалентный коэффициент теплопроводности обмотки:
,
(2.23)
где kз – коэффициент заполнения паза;
dи – диаметр изолированного провода, мм;
kп – коэффициент пропитки обмотки;
Тср – средняя температура обмотки;
λп – коэффициент теплопроводности пропиточного состава;
λи – коэффициент теплопроводности изоляции проводов.
Коэффициент теплоотдачи внешней поверхности лобовых частей обмотки статора:
,
(2.24)
где λв – коэффициент теплопроводности воздуха, Вт/(м∙0С);
Dл,вш – внешний диаметр лобовой части, м;
Nuвш – число Нуссельта для внешней поверхности лобовых частей.
Число Нуссельта для внешней поверхности лобовых частей:
,
(2.25)
где Reвш – число Рейнольдса для внешней поверхности лобовых частей.
Число Рейнольдса для внешней поверхности лобовых частей:
,
(2.26)
где uрот – окружная скорость ротора, м/с;
ν – кинематическая вязкость воздуха, м2/с.
Тепловое сопротивление между внешней непродуваемой лобовой частью обмотки и внутренним воздухом:
,
(2.27)
где hп,эф – эффективная по меди высота паза, м;
lл,в-длина вылета лобовой части обмотки, м.
Тепловое сопротивление между внутренней продуваемой лобовой частью обмотки и внутренним воздухом:
,
(2.28)
где αл,вт – коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности лобовых частей обмотки статора, Вт/(м2∙0С).
Коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности лобовых частей обмотки статора:
,
(2.29)
где Nuвт – число Нуссельта для внутренней поверхности лобовых частей;
Число Нуссельта для внутренней поверхности лобовых частей:
,
(2.30)
где Reвт – число Рейнольдса для внутренней поверхности лобовых частей.
Число Рейнольдса для внутренней поверхности лобовых частей:
,
(2.31)
где Dл,вт – внутренний диаметр лобовой части, м.
Тепловое сопротивление между внутренней непродуваемой лобовой частью обмотки и внутренним воздухом:
.
(2.32)
3) Тепловое сопротивление между медью статора и сердечником статора
,
(2.33)
где Rд,п – сопротивление отводу теплоты через дно паза, 0С / Вт;
Rз – термическое сопротивление зубца, 0С / Вт;
Rп,з – тепловое сопротивление между пазовой частью обмотки и зубцами, 0С / Вт;
Rсп – сопротивление учитывающее разное сопротивление спинки сердечника собственному и внешнему тепловым потокам, 0С / Вт.
Сопротивление отводу теплоты через дно паза:
,
(2.34)
где δи,п – толщина пазовой изоляции, м;
λи,п – коэффициент теплопроводности пазовой изоляции, Вт/(м∙0С);
δв,п – толщина воздушных прослоек (равная половине допуска на укладку), м;
λв,экв – эквивалентный коэффициент теплопроводности воздушных прослоек в пазу, Вт/(м∙0С).
Эквивалентный коэффициент теплопроводности воздушных прослоек в пазу:
.
(2.35)
Термическое сопротивление зубца:
,
(2.36)
где hз – высота зубца, м;
λс – коэффициент теплопроводности стали пакета статора, Вт/(м∙0С);
bз – средняя ширина зубца, м;
kш – коэффициент шихтовки (коэффициент заполнения пакета сталью).
Тепловое сопротивление между пазовой частью обмотки и зубцами:
,
(2.37)
где Rвн – внутреннее сопротивление обмотки, 0С / Вт;
Rип – сопротивление пазовой изоляции, 0С / Вт;
Rвп – сопротивление воздушных прослоек, 0С / Вт.
Внутреннее сопротивление обмотки:
.
(2.38)
Тепловое сопротивление пазовой изоляции:
.
(2.39)
Тепловое сопротивление воздушных прослоек:
.
(2.40)
Тепловое сопротивление спинки сердечника:
,
(2.41)
где Da – внешний диаметр сердечника статора, м;
Dд,п – диаметр окружности касательной к дну пазов, м.
4) Тепловое сопротивление между ротором и внутренним воздухом
,
(2.42)
где Rрот.а – аксиальное сопротивление отводу теплоты от ротора, 0С / Вт;
Rрот.α – конвективное сопротивление отводу теплоты от ротора, 0С / Вт.
Аксиальное сопротивление отводу теплоты от ротора:
,
(2.43)
где λа – коэффициент теплопроводности алюминия клетки, Вт/(м∙0С);
Fa – площадь поперечного сечения паза ротора, м2;
Z2 – число пазов ротора.
Конвективное сопротивление отводу теплоты от ротора:
,
(2.44)
где αл.рот – коэффициент теплоотдачи лопаток ротора, Вт/(м2∙0С);
bл – ширина лопатки ротора, м;
ал – высота лопатки ротора, м;
nл – количество лопаток ротора;
ηл – коэффициент качества лопатки ротора, рассматриваемой как ребро;
ак – высота короткозамыкающего кольца, м;
Dрот – диаметр ротора, м.
Коэффициент теплоотдачи лопаток ротора:
,
(2.45)
где Nuл – число Нуссельта для лопаток ротора.
Число Нуссельта для лопаток ротора:
,
(2.46)
где Reл – число Рейнольдса для лопаток ротора.
Число Рейнольдса для лопаток ротора:
.
(2.47)
5) Тепловое сопротивление между ротором и статором
,
(2.48)
где Rδ – тепловое сопротивление воздушного зазора, 0С / Вт;
Rз – термическое сопротивление зубца (2.36), 0С / Вт.
Тепловое сопротивление воздушного зазора:
,
(2.49)
где аΣ – коэффициент теплоотдачи от ротора к внутреннему воздуху, Вт/(м2∙0С).
Коэффициент теплоотдачи от ротора к внутреннему воздуху:
,
(2.50)
где δ – зазор между ротором и статором, м;
Rрот=Dрот/2 – радиус ротора, м.
6) Сопротивление между сердечником статора и корпусом
,
(2.51)
где RΔc – тепловое сопротивление стыка сердечник станина, 0С / Вт;
Rсп – тепловое сопротивление спинки сердечника (2.41), 0С / Вт.
Тепловое сопротивление стыка сердечник станина:
,
(2.52)
где δусл – условный зазор в стыке сердечник станина, м.
Для двигателей серии 4А величина условного зазора приблизительно равна:
δусл≈(20∙Da+26) ∙10-6. (2.53)
7) Тепловое сопротивление между внутренним воздухом и корпусом
,
(2.54)
где Rст,пр – тепловое сопротивление между внутренней поверхностью станины со стороны привода и внутренним воздухом, 0С / Вт;
Rст,в-тепловое сопротивление между внутренней поверхностью станины со стороны вентилятора и внутренним воздухом, 0С / Вт;
Rщ – тепловое сопротивление между внутренней поверхностью подшипникового щита и внутренним воздухом, 0С / Вт.
Тепловое сопротивление между внутренней поверхностью станины со стороны привода и внутренним воздухом:
,
(2.55)
где Fст,пр – площадь внутренней поверхности свеса станины со стороны привода, м2;
αс – коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности свесов станины, Вт/(м2∙0С).
Площадь внутренней поверхности свеса со стороны привода:
,
(2.56)
где lсв,пр – длина свеса станины со стороны привода, м.
Коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности свесов станины:
,
(2.57)
где Nuc – число Нуссельта для внутренней поверхности свесов станины.
Число Нуссельта для внутренней поверхности свесов станины зависит от высоты оси вращения и от наличия диффузора в полости лобовых частей.
Для высоты оси вращения h<160 мм:
,
(2.58)
для высоты оси вращения h=160–250 мм:
без диффузора-
;
(2.59)
с диффузором-
,
(2.60)
где Rec – число Рейнольдса для внутренней поверхности свесов станины;
D – внутренний диаметр сердечника статора, м.
Число Рейнольдса для внутренней поверхности свесов станины:
.
(2.61)
Тепловое сопротивление между внутренней поверхностью станины со стороны вентилятора и внутренним воздухом:
,
(2.62)
где Fст,в- площадь внутренней поверхности свеса со стороны вентилятора, м2;
αс – коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности свесов станины, Вт/(м2∙0С).
Площадь внутренней поверхности свеса со стороны вентилятора:
,
(2.63)
где lсв,в- длина свеса станины со стороны вентилятора, м.
Тепловое сопротивление между внутренней поверхностью подшипникового щита и внутренним воздухом:
,
(2.64)
где Fщ – площадь внутренней поверхности подшипникового щита, м2;
αщ – коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности подшипникового щита, Вт/(м2∙0С).
Площадь внутренней поверхности подшипникового щита:
.
(2.65)
Коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности подшипникового щита:
,
(2.66)
где Nuщ – число Нуссельта для внутренней поверхности подшипникового щита.
Число Нуссельта для внутренней поверхности подшипникового щита зависит от высоты оси вращения и от наличия диффузора в полости лобовых частей.
Для высоты оси вращения h<160 мм:
,
(2.67)
для высоты оси вращения h=160–250 мм:
без диффузора-
;
(2.68)
с диффузором-
,
(2.69)
где Reщ – число Рейнольдса для внутренней поверхности свесов станины;
δд,щ – зазор между диффузором и щитом в месте крепления, м.
Число Рейнольдса для внутренней поверхности подшипниковых щитов:
.
(2.70)
8) Тепловое сопротивление между внешним воздухом и корпусом
,
(2.71)
где Rвс,пр – тепловое сопротивление между наружной поверхностью свисающей части станины со стороны привода и внешним воздухом, 0С / Вт;
Rвс – тепловое сопротивление между наружной поверхностью станины над пакетом и внешним воздухом, 0С / Вт;
Rвс,в- тепловое сопротивление между наружной поверхностью свисающей части станины со стороны вентилятора и внешним воздухом, 0С / Вт;
Rвщ,пр – тепловое сопротивление между наружной поверхностью подшипникового щита со стороны привода и внешним воздухом, 0С / Вт;
Rвщ,в- тепловое сопротивление между наружной поверхностью подшипникового щита со стороны вентилятора и внешним воздухом, 0С / Вт.
Тепловое сопротивление между наружной поверхностью станины над пакетом и внешним воздухом:
,
(2.72)
где αс,п – коэффициент теплоотдачи наружной поверхности станины над пакетом, Вт/(м2∙0С);
Dc – диаметр станины у основания ребер, м;
zp – количество ребер станины;
δр – толщина ребра станины, м;
hр – высота ребра станины, м;
ηр – коэффициент качества ребра станины.
Тепловое сопротивление между наружной поверхностью свисающей части станины со стороны привода и внешним воздухом:
,
(2.73)
где αс,пр – коэффициент теплоотдачи наружной поверхности станины со стороны привода, Вт/(м2∙0С).
Тепловое сопротивление между наружной поверхностью свисающей части станины со стороны вентилятора и внешним воздухом:
,
(2.74)
где αс,в- коэффициент теплоотдачи наружной поверхности станины со стороны вентилятора, Вт/(м2∙0С).
Коэффициент теплоотдачи наружной поверхности станины над пакетом:
,
(2.75)
где αвх – коэффициент теплоотдачи на входе в межреберные каналы станины, Вт/(м2∙0С);
dг – гидравлический диаметр межреберного канала, м;
γ – коэффициент уменьшения теплоотдачи по длине станины.
Коэффициент теплоотдачи наружной поверхности станины со стороны привода:
.
(2.76)
Коэффициент теплоотдачи наружной поверхности станины со стороны вентилятора:
.
(2.77)
Гидравлический диаметр межреберного канала:
,
(2.78)
где tр – шаг ребер станины, м.
Коэффициент уменьшения теплоотдачи по длине станины:
.
(2.79)
Коэффициент теплоотдачи на входе в межреберные каналы станины:
,
(2.80)
где Nuвх – число Нуссельта для межреберных каналов.
Число Нуссельта для межреберных каналов:
,
(2.81)
где Reэф – число Рейнольдса для межреберных каналов.
Число Рейнольдса для межреберных каналов:
,
(2.82)
где ωэф – эффективная скорость на входе в межреберные каналы, м/с.
Эффективная скорость на входе в межреберные каналы:
,
(2.83)
где ωвх≈0,45∙uвент – расходная скорость на входе в каналы, м/с;
uвент – окружная скорость вентилятора, м/с.
Коэффициент качества ребра станины:
,
(2.84)
,
(2.85)
где λст – коэффициент теплопроводности материала станины, Вт/(м∙0С).
Тепловое сопротивление между наружной поверхностью подшипникового щита со стороны привода и внешним воздухом:
,
(2.86)
где αщ,пр – коэффициент теплоотдачи внешней поверхности подшипникового щита со стороны привода, Вт/(м2∙0С).
Коэффициент теплоотдачи внешней поверхности подшипникового щита со стороны привода:
.
(2.87)
Тепловое сопротивление между наружной поверхностью подшипникового щита со стороны вентилятора и внешним воздухом:
,
(2.88)
где αщ,в- коэффициент теплоотдачи внешней поверхности подшипникового щита со стороны вентилятора, Вт/(м2∙0С).
Коэффициент теплоотдачи внешней поверхности подшипникового щита со стороны вентилятора зависит от высоты оси вращения.
Для высоты оси вращения h<160 мм:
,
(2.89)
для высоты оси вращения h>160 мм:
.
(2.90)
Как видно, для определения тепловых сопротивлений требуется знать большое количество конструктивных параметров. Ниже приводятся полный перечень необходимых для расчета сопротивлений данных:
Паспортные данные
Синхронная частота вращения n1, об/мин;
Количество пар полюсов p.
Параметры станины
Высота оси вращения h, мм;
Диаметр станины у основания ребер Dc, м;
Длина свисающей части станины со стороны привода lсв.пр, м;
Длина свисающей части станины со стороны вентилятора lсв.в, м;
Зазор между диффузором и подшипниковым щитом в месте крепления δд.щ, м;
Количество ребер станины zp;
Высота ребра станины hp, м;
Толщина ребра станины δр, м.
Параметры вентилятора
Внешний диаметр вентилятора Dвент, м.
Параметры статора
Внешний диаметр сердечника Da, м;
Внутренний диаметр сердечника D, м;
Длина паза lп, м;
Число пазов статора Z1;
Коэффициент шихтовки (заполнения пакета сталью) kш=0,97.
Параметры паза статора
Большая ширина паза b1, м;
Меньшая ширина паза b2, м;
Высота паза hп, м;
Коэффициент заполнения паза kз;
Высота шлица hш;
Ширина шлица bш, м;
Высота зубца hз, м;
Ширина зубца bз, м.
Параметры обмотки
Количество витков в обмотке фазы ω1;
Число параллельных ветвей а;
Средняя длина витка обмотки lср1, м;
Длина вылета лобовой части обмотки с одной стороны lл.в, м;
Диаметр изолированного проводника dи, мм;
Коэффициент пропитки обмотки kп;
Толщина окраски обмотки в лобовой части δокр, м;
Параметры пазовой изоляции
Толщина пазовой изоляции δи.п, м.
Параметры ротора
Внешний диаметр ротора Dрот, м;
Число пазов ротора Z2;
Ширина короткозамыкающего кольца bк, м;
Высота короткозамыкающего кольца aк, м;
Ширина лопатки ротора bл, м;
Высота лопатки ротора ал, м;
Количество лопаток ротора zл;
Коэффициент качества лопатки, рассматриваемой как ребро ηл;
Толщина воздушного зазора между ротором и статором δ, м.
Общие физические величины
Кинематическая вязкость воздуха ν, м2/с;
Коэффициент теплопроводности воздуха λв, Вт/(0С∙м);
Средняя температура обмотки Tср, 0С;
Коэффициент теплопроводности меди обмотки λм, Вт/(0С∙м);
Коэффициент теплопроводности алюминия клетки λа, Вт/(0С∙м);
Коэффициент теплопроводности материала станины λст, Вт/(0С∙м);
Коэффициент теплопроводности стали пакета статора λс, Вт/(0С∙м);
Коэффициент теплопроводности пропиточного состава обмотки λп, Вт/(0С∙м);
Коэффициент теплопроводности изоляции проводов λи, Вт/(0С∙м);
Коэффициент теплопроводности окраски обмотки в лобовой части λокр, Вт/(0С∙м).
Расчет теплоемкостей меди и стали
2.3.1 Определение теплоемкости меди
Теплоемкость меди равна:
,
(2.91)
где mм – масса меди обмотки статора, кг;
см – удельная теплоемкость меди обмотки статора, Дж/(кг∙0С).
Масса меди обмотки статора:
,
(2.92)
где m1 – число фаз обмотки статора;
lср1 – средняя длина витка обмотки статора, м;
w1 – число витков обмотки статора;
а – количество параллельных ветвей обмотки статора;
nэл – количество элементарных проводников в эффективном;
dпр – диаметр элементарного проводника, м;
γм – плотность меди обмотки, кг/м3.
Определение теплоемкости стали
,
(2.93)
где mя – масса ярма статора, кг;
mз – масса зубцов статора, кг;
сст – удельная теплоемкость стали пакета статора, Дж/(кг∙0С).
Масса ярма статора:
,
(2.94)
где γс – плотность стали пакета статора, кг/м3.
Масса зубцов статора:
.
(2.95)
2.4.1 Потери в обмотке статора
При определении потерь в обмотке статора не учитываем увеличение активного сопротивления пазовой части обмотки статора за счет эффекта вытеснения тока.
Потери в лобовой и пазовой частях обмотки [4]:
,
(2.96)
,
(2.97)
где r1 – активное сопротивление фазы обмотки статора, Ом;
lл – длина лобовой части обмотки с одной стороны, м;
I1 – ток фазы обмотки статора, А.
Полные потери в меди обмотки статора:
.
(2.98)
Активное сопротивление фазы обмотки статора:
,
(2.99)
где ρм – удельное сопротивление меди обмотки статора при ожидаемой температуре, Ом∙м;
qэл=π(dэл/2)2 – площадь поперечного сечения элементарного проводника, м2.
Ток фазы обмотки статора:
,
(2.100)
где Р2 – мощность на валу двигателя, Вт;
η – коэффициент полезного действия, о.е;
cosφ – коэффициент мощности;
U1 – фазное напряжение, В.
2.4.2 Потери в обмотке ротора
Потери в коротозамкнутой обмотке ротора определяются по формуле [13]:
,
(2.101)
где r2 – активное сопротивление фазы обмотки ротора, Ом;
I2 – ток ротора, А.
Активное сопротивление фазы обмотки ротора:
,
(2.102)
где rст – активное сопротивление стержня клетки, Ом;
rкл – активное сопротивление короткозамыкающего кольца, Ом;
Активное сопротивление стержня клетки:
,
(2.103)
где ρа – удельное сопротивление алюминия обмотки ротора при ожидаемой температуре, Ом∙м.
Активное сопротивление короткозамыкающего кольца:
,
(2.104)
где Dкл,ср – средний диаметр короткозамыкающего кольца, м;
qкл – площадь поперечного сечения короткозамыкающего кольца, м2.
Коэффициент приведения тока кольца к току стержня:
,
(2.105)
где p – количество пар полюсов.
Ток в обмотке ротора:
,
(2.106)
где ki – коэффициент, учитывающий влияние тока намагничивания и сопротивления обмоток на отношение I1/I2;
νi – коэффициент приведения токов.
Коэффициент, учитывающий влияние тока намагничивания и сопротивления обмоток на отношение I1/I2:
.
(2.107)
Коэффициент приведения токов:
,
(2.108)
где kоб1 – обмоточный коэффициент обмотки статора;
kск – коэффициент скоса пазов ротора.
2.4.3 Потери в стали пакета статора
При расчете электрических машин потери в стали, определяют через массу стали и удельные потери, которые в свою очередь определяются значением магнитной индукции в стали и частотой питающего напряжения [13,14,15]. Такой способ определения потерь неудобен из-за того, что необходимо знать значение магнитной индукции в сердечнике статора.
,
(2.109)
где РΣ – суммарная мощность потерь в двигателе, Вт;
Рмех – мощность механических потерь, Вт;
Рдоб – мощность добавочных потерь, Вт.
Суммарная мощность потерь в