Устойчивость систем автоматического управления
Елабужский Филиал ГОУ ВПО Казанского Государственного Технического Университета им. А.Н. Туполева
Курсовая работа по дисциплине:
«Теория автоматического управления»
На тему:
«Устойчивость систем автоматического управления»
Выполнил: студент гр. 22308
Зиннатуллин А.Ф.
Проверил: Конюхов М.И.
Елабуга 2010
Аннотация
В данной работе было представлено устойчивость систем автоматического управления. Устойчивость считается важнейшим и обязательным понятием, так как только в устойчивой системе могут быть удовлетворены другие требования к качеству.
Введение
Устойчивость АСУ характеризует способность системы возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. Следовательно, только устойчивая система является работоспособной. Понятие "устойчивость" наглядно иллюстрирует рис. 1, на котором представлена физическая система шар – опорная поверхность. На рис. 1, а и б шар находится в положении равновесия. При отклонении от этого положения в любую сторону в первом случае (рис. 1,а) шар не может вернуться в исходное положение (неустойчивое равновесие), а во втором (рис. 1,б) – возвращается (устойчивое равновесие). Если опорная поверхность представляет собой горизонтальную плоскость, то шар движется по ней до тех пор, пока действует движущая сила Fд и после ее исчезновения останавливается в любой точке на плоскости (безразличное равновесие). Такая система иногда называется нейтральной (рис. 1,в).
Рис. 1. Физическая система шар – опорная поверхность
Говорят, что система устойчива в малом, если констатируют лишь факт наличия области устойчивости, но не определяют каким-либо образом ее границы. Если границы устойчивости определены, т.е. границы области начальных отклонений, при которых система возвращается в состояние равновесия, известны (рис. 1,г), и выяснено, что реальные начальные отклонения принадлежат этой области, то система устойчива в большом. Когда система возвращается в состояние равновесия при любых начальных отклонениях, ее называют устойчивой в целом, т. е. в малом и большом.
Переходные процессы в АСУ.
В любой АСУ в результате воздействия возмущающих сил, с одной стороны, и восстанавливающего действия управляющего устройства, с другой, возникает переходный процесс: переход АСУ из одного состояния в другое. Рассмотрим различные типы переходного процесса.
Пусть АСУ описывается дифференциальным уравнением вида
(1)
характеристическое уравнение, которого
имеет корни
Решение ДУ описывает переходной процесс y(t) характер которого определяется коэффициентом x. Возможное расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости р при различных значениях x показано на рис. 2. Рассмотрим переходные процессы, соответствующие различным значениям x.
Рис. 2. Расположение корней характеристического уравнения
x<-1.
Переходная
функция h(t)
при
подаче на вход
единичного
ступенчатого
сигнала имеет
вид:
,
при
этом корни
характеристического
уравнения
вещественные
положительные
(p1,2>0)
и, следовательно,
.В
данном случае
система не
может восстановить
равновесное
состояние,
значение управляемой
координаты
все больше
отклоняется
от заданного.
Такой переходный
процесс называется
расходящимся
монотонным
(апериодическим)
(рис. 3,а),
а
система неустойчивой
(идет
процесс накопления
энергии из
внешней среды).
Рис. 3. Виды переходного процесса
-1<x<0.
При этом
,
а переходная
функция имеет
вид:
где
,
.
Характеристики системы те же, что и в предыдущем случае, но переходный процесс колебательный (рис. 3,б).
0<x<1.
Переходная
функция h(t)
та
же, что и в случае
II,
но при
.
При этом система
возвращается
в равновесное
состояние, а
значение управляемой
координаты
приближается
к заданному.
Такой переходный
процесс называется
сходящимся
колебательным,
а
система устойчивой
(происходит
отдача энергии
во внешнюю
среду) (рис. 3,в).
x>1.
Переходная
функция h(t)
имеет
тот же вид, что
и в случае I,
но
.
Характеристика
системы та же,
что и в III
случае, но переходный
процесс монотонный
(апериодический)
(рис. 3,в).
На
этом же рисунке
показана переходная
функция при
x=1,
.
x=0.
,
,
.
В системе устанавливается периодическое движение, процесс называется колебательным незатухающим, система находится на границе устойчивости (рис.3,д). Она является замкнутой (консервативной), автономной от внешней среды.
Все
рассмотренные
колебания (И,
III
и V
случаи) относятся
к классу свободных,
их
параметры A
и j
зависят
от начальных
условий, т. е.
от привнесенной
энергии. Для
случаев II
и III
функция
,
где Т-
период
колебаний, и,
следовательно,
эти колебания
непериодические.
Периодические
колебания
наблюдаются
только в случае
V.
Сопоставление корней характеристического уравнения на комплексной плоскости р с соответствующими переходными процессами (рис. 3) показывает, что линейная система восстанавливает равновесное состояние только тогда, когда корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси.
В общем случае условие устойчивости АСУ имеет вид
где у(0) – начальное значение управляемой величины;
–
установившееся
отклонение
управляемой
величины или
статическая
ошибка (в случае
астатической
системы e
= 0).
Реальные системы всегда нелинейны, однако, если для анализа поведения системы можно произвести линеаризацию уравнений, то о ее устойчивости можно судить исходя из первого метода А.М. Ляпунова:
Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то реальная система будет устойчива в малом.
Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то реальная система всегда неустойчива.
Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один нулевой корень или пару чисто мнимых корней, то поведение реальной системы не может определяться ее линеаризованным уравнением. В этом случае отброшенные при линеаризации уравнения члены высшего порядка малости определяют поведение системы и могут превратить ее как в устойчивую, так и в неустойчивую.
Таким образом, анализ устойчивости линеаризованной системы сводится к нахождению расположения корней на комплексной плоскости, которое однозначно определяется коэффициентами характеристического уравнения. Однако не всегда можно вычислить корни характеристического уравнения в аналитическом виде. В соответствии с теоремой Абеля, корни уравнения выше четвертого порядка в общем случае не могут быть найдены аналитически в принципе. Поэтому желательно иметь такие критерии, с помощью которых можно было судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения, зависящих от параметров систем, и определять влияние изменяемых параметров на расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Эти критерии называют критериями устойчивости и подразделяются на алгебраические и частотные.
Алгебраические критерии устойчивости
Необходимое условие устойчивости. Характеристическое уравнение системы после определения его корней может быть представлено в виде
Если система устойчива и все ее корни имеют отрицательные вещественные части, то после раскрытия скобок в последнем выражении получим характеристическое уравнение системы
,
в котором все коэффициенты аi, i=1,2,...n, будут строго больше нуля.
Для устойчивости системы необходимо, но недостаточно, чтобы все коэффициенты ее характеристического уравнения были строго больше нуля.
Понятие недостаточности означает, что если какой-либо коэффициент характеристического уравнения системы меньше нуля или равен нулю, то система неустойчива, но положительность всех коэффициентов еще не означает, что система устойчива. Нужны дополнительные исследования
Критерий устойчивости Гурвица
Пусть дано характеристическое уравнение системы вида
(2)
при а0 > 0.
Гурвиц предложил алгебраический критерий, который основан на построении специальных определителей характеристического уравнения (2), называемых определителями Гурвица. Они составляются по следующим правилам:
по главной диагонали выписывают все коэффициенты от а1 до аn в порядке возрастания индекса;
дополняют столбцы определителя вверх от диагонали коэффициентами с последовательно возрастающими, а вниз – с последовательно убывающими индексами;
на место коэффициентов, индексы которых больше n и меньше 0, ставят нули.
В соответствии с этими правилами, определитель Гурвица n-го порядка для уравнения (2) имеет вид:
(3)
Определители Гурвица более низкого порядка являются диагональными минорами Dn. Например, при n = 3
;
;
Поскольку в последнем столбце определителя Dn стоят нули, за исключением, то
Критерий Гурвица формулируется следующим образом:
для того чтобы АСУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица
были положительными, и при этом выполнялось условие
a0>0.
Пример. Исследовать устойчивость системы стабилизации угла тангажа самолета и определить критическое значение передаточного числа автопилота по углу тангажа. Система задана структурной схемой.
На схеме обозначено:
ku- передаточное число (коэффициент передачи) автопилота по углу тангажа;
передаточная
функция рулевого
привода;
передаточная
функция самолета
по угловой
скорости тангажа
wz;
kwz - передаточное число автопилота по угловой скорости тангажа.
Для передаточной функции разомкнутой системы можно записать
где
Передаточная функция замкнутой системы примет вид
где
Составим определитель Гурвица
Оценим устойчивость системы для следующих значений параметров:
.
При этих значениях для коэффициентов характеристического уравнения получим
Следовательно, все коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы положительны и
Условия устойчивости выполнены и система при избранных параметрах устойчива.
Определим критическое значение передаточного числа по углу тангажа, для чего приравняем третий диагональный определитель нулю и сделаем преобразования.
Отсюда
В последнем выражении только d3 и d4 являются функциями коэффициента ku и подставив их в него, получим квадратное уравнение относительно этого коэффициента
Решив это уравнение, получим критическое значение передаточного числа по углу тангажа
Система устойчива, если ku<16.56.
Критерий устойчивости Рауса
Этот критерий представляет собой систему неравенств, составленных по особым правилам из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой САУ.
Критерий Рауса требует несколько меньшего объема вычислений, чем критерий Гурвица и более удобен для программирования на ЭВМ. Для суждения об устойчивости системы по этому критерию необходимо составить таблицу Рауса.
Таблица Рауса
В первой строке таблицы записывают коэффициенты характеристического уравнения, имеющие четные индексы в порядке их возрастания. Во второй строке таблицы записывают коэффициенты с нечетными индексами в порядке их возрастания. В последующие строки вписывают коэффициенты, определяемые как
Условия устойчивости Рауса: Чтобы САУ была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, то есть были положительными. Если не все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса положительны, то есть САУ неустойчива, число правых корней характеристического уравнения равно числу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса.
Частотные критерии устойчивости
Принцип аргумента. Частотные критерии устойчивости используются в графоаналитическом виде и отличаются большой наглядностью при проведении расчетов. В основе всех частотных методов лежит принцип аргумента.
Рассмотрим характеристическое уравнение системы
Если li, i=1,2,...n- корни этого уравнения, то
Каждому корню на комплексной плоскости соответствует определенная точка, и геометрически на этой плоскости каждый корень можно изобразить в виде вектора с модулем ЅliЅ, проведенного из начала координат (рис.3.4). Сделаем замену s=jw и получим
В соответствием с правилом вычитания векторов получим, что конец каждого элементарного вектора (jw - li) находиться на мнимой оси.
Аргумент вектора D(jw) равен сумме аргументов элементарных векторов
Направление вращения вектора (jw - li) против часовой стрелки при изменении частоты от -Ґ до +Ґ принято считать положительным, а по часовой стрелке- отрицательным. Предположим, что характеристическое уравнение имеет m корней в правой полуплоскости и n - m корней в левой полуплоскости. При изменении частоты от -Ґ до +Ґ каждый вектор (jw - li), начало которого лежит в левой полуплоскости повернется на угол +p , а каждый вектор, начало которого лежит в правой полуплоскости - на угол -p. Изменение аргумента вектора D(jw) при этом будет
(3.14)
Это выражение и определяет принцип аргумента.
Изменение аргумента вектора D(jw) при изменении частоты от -Ґ до +Ґ равно разности между числом (n-m) корней уравнения D(s)=0, лежащих в левой полуплоскости, и числом m корней этого уравнения, лежащих в правой полуплоскости, умноженной на p .
Критерий устойчивости Михайлова
Пусть дано уравнение замкнутой системы
где
– передаточная
функция замкнутой
системы.
Тогда дифференциальное уравнение системы, преобразованное по Лапласу можно записать в виде:
где
–
характеристический
полином n-ной
степени.
В соответствии с основной теоремой алгебры этот полином можно разложить на множители в виде:
(4)
где p1, p2, …, pn - корни характеристического уравнения А(р) = 0.
Выражение (5) действительно при любых значениях p, в частности при p=jw. Тогда (5) можно переписать так:
(5)
Выражение (5) называется кривой Михайлова и обычно обозначается D(jw) = A(jw). Каждый сомножитель выражения (5) отображается на комплексной плоскости вектором, конец которого лежит на мнимой оси (рис.4).
В основу критерия Михайлова положен принцип аргумента: произведение комплексных чисел имеет аргумент, равный сумме аргументов всех его сомножителей.
В нашем случае при изменении w от -Ґ до + Ґ векторы сомножителей (jw - pi), i = 1,n, поворачиваются на угол p (5). Если корни лежат в левой части полуплоскости, то изменение угла будет положительным, если в правой, то отрицательным. Вектор (jw - pi) поворачивается против часовой стрелки в левой полуплоскости и по часовой стрелке – в правой.
Запишем выражение (5) в показательной форме. Учтем, что
где
;
Тогда
(6)
Из (5) вытекает, что изменение аргумента вектора Михайлова D(jw) равно сумме изменений аргумента каждого сомножителя выражения (6), т.е.
Если все корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси (т. е. система устойчива), то изменение аргумента каждого из сомножителей (jw - pi) при изменении w от –Ґ до + Ґ, равно +p, а изменение аргумента произведения всех сомножителей Darg D(jw) = + pn.
Если хотя бы один корень будет расположен в правой полуплоскости (система неустойчива), то изменение аргумента вектора Михайлова Darg D(jw) = + p(n – 2).
Заметим, что при изменении w от –Ґ до + Ґ кривая Михайлова симметрична относительно оси абсцисс, что позволяет ограничиться изучением кривой в диапазоне изменения w от 0 до + Ґ. Тогда условие устойчивости системы по Михайлову можно записать в виде
(7)
Годографы кривой Михайлова при изменении w от 0 до + Ґ для устойчивых систем при различных значениях n приведены на рис. 5.
В
соответствии
с (7) критерий
Михайлова
формулируется
следующим
образом: для
того, чтобы
замкнутая
система была
устойчивой,
необходимо
и достаточно,
чтобы при изменении
w от
0 до + Ґ вектор
Михайлова D(jw)
повернулся
на угол
.
Рассматривая расположение D(jw) на комплексной плоскости (рис.4), условие устойчивости можно сформулировать иначе: чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора D(jw) прошел на комплексной плоскости последовательно n квадрантов в положительном направлении (против часовой стрелки), не проходя через начало координат. Если годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости. Расположение годографа на комплексной плоскости для различных систем иллюстрируется рис. 6.
Пример. Используя критерий Михайлова, оценить устойчивость системы стабилизации угла тангажа самолета и определить критическое значение передаточного числа ku.
Характеристическое уравнение замкнутой системы было получено выше и имеет вид
Сделаем замену s=jw и выделим вещественную и мнимую части
Построенная при заданных ранее параметрах системы кривая Михайлова имеет вид, показанный на рис.3.7.
Кривая начинается на вещественной положительной полуоси, проходит последовательно 4 квадранта и заканчивается в 4-м квадранте. Следовательно, при данных параметрах исследуемая система устойчива.
Для определения критического значения передаточного числа по углу тангажа составим систему уравнений
Из второго уравнения системы определяем частоту и подставив выражение для нее в первое уравнение, после преобразований получим квадратное уравнение относительно искомого значения передаточного числа
Полученное уравнение абсолютно идентично полученному при решении задачи по критерию Гурвица и результат таким же
Построение кривой Михайлова для систем высокого порядка может быть связано с громоздкими вычислениями и графическими построениями. В этих случаях может быть более просто оценить устойчивость по корням уравнений U(w)=0 и V(w)=0. Определим корни этих уравнений и расположим их на числовой оси
Корни вещественные и перемежаются между собой. Система стабилизации угла тангажа устойчива.
Критерий устойчивости Найквиста
Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду АФЧХ разомкнутой системы.
Пусть
передаточные
функции разомкнутой
и замкнутой
системы имеют
вид:
Введем функцию
( 3.17)
где D(s)- характеристический полином замкнутой системы. Перейдя к частотным представлениям, получим
(3.18)
Вектор N(jw) называется вектором Найквиста. Очевидно, что числитель и знаменатель этого вектора имеют один и тот же порядок n. При использовании критерия Найквиста следует различать два случая.
1). Разомкнутая система устойчива и ее характеристическое уравнение A(s)=0 имеет все корни в левой полуплоскости. Тогда при изменении частоты от 0 до Ґ
(3.19)
Изменение аргумента вектора D(jw) в общем случае равно
(3.20)
где m- число корней уравнения D(s)=0, лежащих в правой полуплоскости.
Изменение аргумента вектора Найквиста будет
(3.21)
Если замкнутая система устойчива, то m=0 и
Так как при w®Ґ, W(jw)®0, то N(jw)®1. Рассмотрим рисунок 3.8а, на котором показана кривая Найквиста, которую описывает вектор Найквиста при изменении частоты от 0 до Ґ. Нетрудно убедиться, что вектор Найквиста опишет угол, равный нулю только в случае, если его годограф не охватывает начало координат. Перенесем начало координат в точку с координатами (1,j0) (рис.3.9б). Можно убедиться, что изменение аргумента вектора Найквиста будет равно нулю если АФЧХ W(jw) разомкнутой системы не охватывает критическую точку с координатами (-1,j0).
Критерий Найквиста для рассматриваемого случая формулируется следующим образом.
Система автоматического управления, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если АФЧХ W(jw) разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до Ґ не охзватывает критическую точку с координатами (-1, j0).
Особенности возникают, если разомкнутая система нейтрально-устойчива, т.е.
где полином A1(s) имеет все корни в левой полуплоскости. При w=0 АФЧХ разомкнутой системы W(jw)=Ґ и проследить поведение кривой АФЧХ в окрестности этой точки невозможно. При изменении частоты от -Ґ до +Ґ наблюдается движение корней вдоль мнимой оси снизу вверх и при w=0 происходит бесконечный разрыв.
При этом движении обойдем нулевой корень (рис.3.10) по полуокружности бесконечно малого радиуса r так, чтобы этот