Теория оболочек

Введение. Основные определения

Конструктивные формы современных машин и сооружений чрезвычайно разнообразны. Выбор формы детали, узла или сооружения определяется многими факторами: их назначением, условиями работы, технологией изготовления, стоимостью, а также методами расчета. Одним из самых распространенных типов современных и перспективных конструкций являются тонкостенные оболочки. Тонкие пластины и оболочки находят исключительно широкое применение в конструкции самых разнообразных инженерных сооружений. По этой причине создание надежных совершенных конструкций непосредственно зависит от уровня развития теории тонких пластин и оболочек.

Тонкая оболочка может быть определена как тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами. Таким образом, для оболочечных конструкций характерна тонкостенность.

К оболочкам относятся, в частности, тонкостенные пространственные системы, очерченные по криволинейным поверхностям. Оболочки способны выдерживать разнообразные виды нагрузок и обеспечивать изоляцию от окружающей среды. Им можно придать обтекаемую форму и на их основе получить относительно легкие конструкции, что имеет огромное значение в авиакосмической промышленности

Снижение материалоемкости конструкции - важный фактор для многих машин и агрегатов. Выгодно это и в строительных сооружениях. Оболочки позволяют эффективно решать проблему минимизации массы.

В настоящее время оболочки можно видеть повсюду. Высотные здания и телебашни, спортивно-концертные комплексы, крытые стадионы и рынки, цистерны и резервуары, трубопроводы и градирни, самолеты и ракеты, надводные и подводные корабли, автомобили в существенной части состоят из оболочек. Транспортные конструкции характеризуются не только возможностью достижения высоких скоростей, аэродинамическим совершенством форм, грузоподъемностью. Они воплощают также идеи оптимальности, экономичности, весового совершенства.

Оболочки как элементы конструкций известны давно. Это и паровой котел, и водопровод в древнем Риме. С давних времен известны емкости для хранения жидкостей и зерна, криволинейные своды перекрытий в строительстве. Но решающую роль в самых различных областях современной техники оболочки стали играть последние несколько десятилетий.

Термин "оболочка" относится к числу перегруженных и в него можно вкладывать разный смысл. Далее под оболочками понимаются конструкции, способные выполнять силовые, эксплуатационные, технологические, архитектурные и эстетические функции.

При математическом моделировании с понятием оболочки в первую очередь связывается представление о геометрической поверхности. В механике деформируемого твердого тела и строительной механике классификация объектов (тел) основана на особенностях их формы и соотношении характерных размеров.

Принято различать и выделять элементы конструкций, один размер которых намного больше двух других. Это стержни, кольца, арки. Тела, у которых один размер намного меньше остальных, образуют класс оболочек и пластин.

Основная проблема теории тонких упругих оболочек состоит в сведении трехмерной задачи теории упругости к двумерной задачи. Таким образом, развитие общей теории тонких упругих пластин и оболочек идет по пути сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным. Для решения этой проблемы предложено большое число методов, которые по классификации С.А. Амбарцумяна могут быть объединены в три группы: метод гипотез, метод разложения общих уравнений теории упругости по толщине оболочки и асимптотический метод. Все эти методы интенсивно развиваются, дополняя друг друга.

Список обозначений

a1, a2 - криволинейные ортогональные координаты срединной поверхности So оболочки на линиях главных кривизн; для оболочки вращения a1 ─ продольная, a2-окружная координаты; z ─ координата по нормали к S;

А1, А2 -коэффициенты Лямэ; k1, k2 -главные кривизны;

U, V, W - компоненты вектора перемещений произвольной точки оболочки;

u, v, w - компоненты вектора перемещений точек поверхности So;

q 1, q2 - углы поворота нормали ;

ejk - компоненты тензора деформаций;

E11, E22, E12 - компоненты тангенциальной деформации на S: растяжения-сжатия по направлениям координат a1 и a2 и сдвиг;

K11, K22, K12 - компоненты изгибной деформации: изменения главных кривизн и кручение;

T11, T22, S - тангенциальные внутренние усилия, приведенные к So: усилия растяжения-сжатия и сдвига;

M11, M22, H - изгибающие и крутящий моменты;

Q11, Q22 - перерезывающие силы;

q1, q2, q3 - компоненты внешней поверхностной нагрузки, приведенные к S;

E, n - модуль Юнга и коэффициенты Пуассона материала оболочки;

yj -унифицированные обозначения основных независимых переменных в разрешающих системах обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ);

fj - операторы правых частей канонических систем ОДУ;

Рассмотрим элемент произвольной тонкой оболочки, пусть в дальнейшем

h - толщина оболочки, принимаемая в дальнейшем постоянной.

Обозначим через R1, R2- главные радиусы кривизны срединной поверхности оболочки S. R=min {R1, R2}.

Основным геометрическим параметром оболочки является параметр тонкостенности или относительная толщина, определяемый отношением e=h/R.

Принята достаточно условная классификация оболочек по ее толщине на тонкие, средней длины и толстые оболочки.

Будем считать оболочку тонкой, если ее относительная толщина значительно меньше единицы. Обычно оболочки считают тонкими при значении e<1/20. Значения 1/20 < e < 1/10 соответствуют оболочке средней толщины, а e > 1/10 - толстой оболочке.

Для незамкнутых оболочек можно задать характерный размер размер a. Тогда параметр тонкостенности можно определить как e = min (h/a, h/R).

Поверхность оболочки S, равноотстоящая от лицевых поверхностей S+ и S - называется ее срединной поверхностью.

Криволинейные, ортогональные системы координат

Правило дифференцирования базисных векторов криволинейной ортогональной системы координат определяется следующим образом:

es,t = - (Ht,s /Hs) et - dstСHt

С = em (…),m / Hm

Здесь Hm - параметры Ляме координатной системы, имеющие вид

= (r, i) 2; Hi = Ѕr, iЅ.

Здесь r, I - радиус - вектор произвольной точки тела оболочки. В частности:

e1,1 = (H1,1/H1) e1 - (H1,1/H1) e1 - (H1,2/H2) e2 - (H1,3/H3) e3

e1,2 = (H2,1/H1) e2; e3,2 = (H2,3/H3) e2; Hi (a1, a2, a3)

Запишем условие совместности, которое в принятых обозначениях имеет вид:

(e1,1),2 = (e1,2),1

(e1,2),1 = ( (H2,1/H1) e2),1 = (H2,1/H1),1 e2 + (H2,1/H1) (H1,2/H2) e1;

(e1,1),2 = - [ (H1,2/H2) e2 + (H1,3/H3) e3],2 =

= - (H1,2/H2),2 e2 + (H1,2/H2) ( (H2,1/H1) e1+ (H2,3/H3) e3) -

(H1,3/H3),2 e3 - (H1,3/H3) (H2,3/H3) e2

Тогда, приравнивая коэффициенты при базисных векторах, получим:

e1: (H2,1H1,2) / (H1H2) - (H2,1H1,2) / (H1H2) є 0 - тождество

e2: (H2,1/H1),1 + (H1,2/H2),2 + (H1,3 Ч H2,3) / = 0

e3: (H1,2 Ч H2,3) / (H2H3) - (H1,3/H3),2 = 0

Круговая перестановка индексов приводит к шести уравнениям совместности параметров Ляме.

Некоторые сведения из теории поверхностей

Рассмотрим произвольную гладкую поверхность и систему декартовых координат x, y, z.

Пусть r = r (a1, a2) - радиус-вектор произвольной точки срединной поверхности оболочки. Рассмотрим производные r по переменным a1 и a2

r,1 = r1; r,2 = r2

Введем в рассмотрение базис

r1 /Ѕr1Ѕ= e1 r2 /Ѕr2Ѕ= e2

и обозначим ЅraЅ = Aa на срединной поверхности S ( a3 =0). В этом случае ri = Ai ei

Составим скалярные произведения:

ra Ч rb =Gab; G11 =; G22 =

G12 = G21 = 0 для ортогональной системы координат

При этом образуется тензор второго ранга = Gab ra rb, который называется первым фундаментальным тензором поверхности.

ds2 = (dr) 2 = (r,1 da1 + r,2 da2) 2 =

= (r1da1 + r2 da2) 2 = G11d + 2G12 da1da2 +C22 d =

= d + d;

Коэффициенты А1 и А2 являются коэффициентами первой квадратичной формы и называются параметрами Ляме. Первая квадратичная форма определяет так называемую внутреннюю геометрию поверхности и определяет метрику поверхности. Введем в рассмотрение единичный вектор внешней нормали к поверхности N. Запишем очевидное соотношение N Ч N =1 и продифференцируем его по a1, a2:

2N Ч N, i = 0; очевидно, вектор N, I лежит в касательной плоскости к поверхности S и может быть представлен в виде разложения N, i = Bij rj.

При этом вводится в рассмотрение тензор второго ранга

= Bab Ч ra Ч rb,

являющийся вторым фундаментальным тензором поверхности, а его компоненты Bab - коэффициентами второй квадратичной формы поверхности, определяющей внешнюю геометрию поверхности.

В главных осях тензор может быть записан в виде:

= = k1e1e1 + k2e2e2

k1 = 1/R1; k2 = 1/R2 –

главные кривизны

В дальнейшем координатные линии выбираются вдоль главных осей кривизны. Пусть в дальнейшем

I1 = k1 + k2 - первый инвариант (средняя кривизна)

I2 = k1 Ч k2 - второй инвариант (гауссова кривизна)

Специальная система координат в теории оболочек

N = e1 ґ e2

Для любой точки тела оболочки:

r (a1,a2,a3) = r (a1,a2) + a3N

= (r, i) 2 = (r, i + (a3N), i) 2 = (ri + a3Bij rj) 2 (B12 = B21 =0)

= (r1 + a3 N,1) 2 = (r1 + a3 Ч B11 r1) 2 = (1 + a3k1) 2

H1 = A1 (1 + a3k1); H2 = A2 (1 + a3k2); (ЅriЅ= Ai)

= N Ч N = 1 ® H3 = 1 –

параметры Ляме в специальной системе координат

Соотношения Гаусса и Кодацци

Уравнения совместности параметров Ляме:

(H2,1/H1),1 + (H1,2/H2),2 + (H1,3Ч H2,3) /= 0

(H1,2 Ч H2,3) / (H2H3) - (H1,3/H3),2 = 0

В специальной системе координат

Hb = Ab (1 + a3kb); H3 = 1 (b = 1,2)

Рассмотрим срединную поверхность a3 = 0

(A2,1/A1),1 + (A1,2/A2),2 + k1A1 k2A2 = 0 –

соотношение Гаусса.

A1,2 k2 - (A1k1),2 = 0, (A1k1),2 = A1,2 k2

при замене индексов получаем два соотношения Кодацци

(A2k2),1 = A2,1 k1

Вектор перемещений

u = R - r = u1e1 + u2e2 + u3e3

R - текущая конфигурация

r - отсчетная конфигурация

u, i = (ukek), i = (uk), i ek + uk (ek), i

Дифференцирование ортов в специальной системе координат

e1,1 = - e2 (H1,2/H2) - e3 (H1,3/H3) = - e2 1/ (A2 (1 + a3k2)) Ч [A1 (1 + a3k1)],2 -

e3 Ч [A1 (1 + a3k1)],3 = - e2 1/ (A2 (1 + a3k2)) [A1,2 + a3 (A1k1),2] - e3 A1k1 =

= - e2 (A1,2 (1 + a3k2)) / (A2 (1 + a3k2)) - e3 A1k1 =

= - e2 (A1,2/A2) - e3 A1k1;

e1,2 = e2 (H2,1/H1) = e2 1/ (A1 (1 + a3k1)) [A2,1 + a3 (A2k2),1] =

= e2 (A2,1 (1 + a3k1)) / (A1 (1 + a3k1)) = e2 (A2,1/A1);

e1,3 = e3 (H3,1/H1) = 0 (т.к H3 = 1)

e2,1 = e1 (A1,2/A2) - получаем из e1,2 заменой (1«2)

e2,3 = e3 (H3,2/H2) = 0 e3,2 = e2 (H2,3/H3) = e2 A2k2

e3,1 = e1 (H1,3/H3) = e1 A1k1 e3,3 = 0 (H3 = 1)

Удлинения, сдвиги и повороты элемента сплошной среды

а) Рассмотрим удлинения

dr - в отсчетной конфигурации, dR - в текущей конфигурации

dR = dr Ч ; R (= ek (…),k / Hk)

R = r + u

(r + u) = r +u = u

Рассмотрим относительное удлинение

(ЅdRЅ-ЅdrЅ) /ЅdrЅ = e; ЅdRЅ = dS; ЅdrЅ = ds;

dS2 - ds2 = dR Ч dR - dr Ч dr = dr ЧЧ dr Ч - dr Ч dr =

= dr ЧЧЧ dr - dr ЧЧ dr = dr (Ч-Ч) Ч dr =

= 2dr Ч Ч dr; = 0,5 (Ч - ) - тензор деформаций Грина

= 0,5 [ ( +u) ( +uT) - ] = 0,5 (u +uT +uЧuT)

dr = e ds ® e = dr /ЅdrЅ - единичный вектор

dS2 - ds2 = 2ds2 eЧeG Ч e

(dS2 - ds2) /ds2= (dS/ds) 2 - 1 = 2eЧeGЧe

dS/ds = (1 + 2eЧeGЧe) 1/2;

ee = (dS - ds) /ds = (1 + 2eЧeGЧe) 1/2 - 1 - удлинение

Пусть e = e1; = (1+2) 1/2 - 1 = 1 + + … - 1 = » e11

e = 0,5 (Сu +СuT) - линейный тензор деформаций Коши.

Деформации сдвига

Выделим два прямолинейных волокна, направление которых определяется единичными векторами m1 и m2

dr1 = m1ds1; dr2 = m2ds2;

dsi = ЅdriЅ - длины элементов волокон до деформаций

Деформации сдвига характеризуется изменением угла q12

cos q12 - cos Q12 = (dr1Ч dr2) / (ds1Ч ds2) - (dR1Ч dR2) / (dS1Ч dS2) =

= m1 Ч m2 - [ (dr1ЧЧ dr2) / ds1 (1+em1) ds2 (1+em2)] =

= m1 Ч m2 - m1ЧЧ m2 = m1Ч ( - ) Ч m2 = - 2m1ЧЧ m2;

Пусть m1 = e1; m2 = e2; m1 Ч m2 = 0

cos q12 = 0 0 - cos Q12 = -2

cos Q12 = cos (p/2 - g12) = 2 = sin g12 = g12

g12 - угол сдвига; g12 » e12, если g12 - небольшой

Повороты

Рассмотрим материальное волокно dr = e ds

w = (dr ґ dR) / (ЅdrЅЧЅdRЅ) - вектор поворота материального волокна

ЅwЅ= sin j

w - нормаль, относительно которой происходит поворот

w = (dr ґ (drЧ)) / (dsЧds (1 + ee)) = e ґ (eЧ) =

= e ґ [e Ч (u)] = e ґ e + e ґ (e Ч u) = e ґ (e Чu)

Пусть e = et - базисные вектора t = 1,2,3

wt - вектор поворота материального волокна t

wt = et ґ (et Ч u) = et ґ (et Ч ukj ek ej) =

u = ukj ek ej = et ґ (ukj dtk ej) = et ґ utj ej =

= utj 'tjk ek = wtk ek = wt, где wtk = utj 'tjk

'tjk - символы Леви-Чивита, которые определяются:

СЛЧ = 0, если среди r,s,t есть одинаковые

=+1, если индексы r,s,t - различные ® 123, 231, 312

= -1, если этот порядок нарушается

'rst = er Ч (es ґ et)

wtk характеризует поворот орта t относительно орта k.

Введем тензор второго ранга = wtk et ek - тензор поворота

w11 = 0; w12 = u1j '1j2 = - u13; w13 = u1j '1j3 = u12

w21 = u2j '2j1 = u23; w22 = 0; w23 = - u21

w31 = u3j '3j1 = - u32; w32 = u3j '3j2 = u31;

w33 = 0;

Определим компоненты градиента вектора перемещений в специальной системе координат:

(= es (…),s / Hs; Hi = Ai (1 + a3ki) i = 1,2 H3 = 1

“o” - в дальнейшем опускаем

Сu = es (u1e1 + u2e2 + u3e3),s / Hs = e1 (u1,1/H1) e1 + e1 (e1,1 /H1) u1 + e2 (u1,2/H2) e1 +

+ e2 (e1,2 /H2 ) u1 + e3 (u1,3/H3) e1 + e3 (e1,3 /H3) u1 + e1 (u2,1/H1) e2 + e1 (e2,1 /H1) u2 +

+ e2 (u2,2/H2) e2 + e2 (e2,2 /H2) u2 + e3 (u2,3/H3) e2 + e3 (e2,3 /H3) u2 + e1 (u3,1/H1) e3 +

+ e1 (e3,1 /H1) u3 + e2 (u3,2/H2) e3 + e2 (e3,2 /H2) u3 + e3 (u3,3/H3) e3

После подстановки выражений ek,j (j,k = 1,2,3)

Hi = Ai (1 + a3ki) i = 1,2; H3 = 1

h/2 Ј a3 Ј h/2; учитывая, что h/Ri " 1, т.е. оболочка тонкая, получим:

u11 = u1,1/A1 + (A1,2 / (A1A2)) u2 + u3k1

u12 = u2,1/A1 - (A1,2 / (A1A2)) u1

u13 = u3,1/A1 - u1k1

u21 = u1,2/A2 - (A2,1 / (A1A2)) u2

u22 = u2,2/A2 + (A2,1 / (A1A2)) u1 + u3k2

u23 = u3,2/A2 - u2k2

u31 = u1,3 u32 = u2,3 u33 = u3,3

= 0,5 (Сu + СuT) Ю eii = uii

Для удлинений имеем:

e11 = u11; e22 = u22; e33 = u33;

Для деформаций сдвига соответственно:

e12 = 0,5 (u12 + u21) = 0,5 [ (A2/A1) (u2/A2),1 + (A1/A2) (u1/A1),2]

e13 = 0,5 (u13 + u31) = 0,5 (u3,1/A1 + u1,3 - u1k1)

e23 = 0,5 (u23 + u32) = 0,5 (u3,2/A2 + u2,3 - u2k2)

Углы поворота определяются через перемещения следующим образом: wii = 0

w12 = - u13 = - u3,1/A1 + u1k1

w21 = u23 = u3,2/A2 - u2k2; w13 = u12

w23 = - u21 w31 = - u32 = - u2,3; w32 = u31 = u1,3.

Теория малых удлинений и малых квадратов углов поворота

Рассмотрим тензор нелинейных деформаций Грина:

= 0,5 (Сu + СuT + Сu Ч СuT) = + 0,5Сu Ч СuT

Его нелинейная часть определяется следующим образом:

Сu Ч СuT = umn em Ч en Ч uij ej ei = umn uij dnj emЧei =

= umn uin em ei; Ю emi = emi + 0,5umn uin

Таким образом, компоненты тензора деформаций можно записать в виде:

e11 = e11 + 0,5 ()

e12 = e12 + 0,5 (u11u21 + u12u22 + u13u23)

e13 = e13 + 0,5 (u11u31 + u12u32 + u13u33)

e21 = e21 + 0,5 (u21u11 + u22u12 + u23u13)

e22 = e22 + 0,5 ()

e31 = e31 + 0,5 (u31u11 + u32u12 + u33u13)

e32 = e32 + 0,5 (u31u21 + u32u22 + u33u23)

e33 = e33 + 0,5 ()

e23 = e23 + 0,5 (u21u31 + u22u32 + u23u33)

или, подставляя выражения для углов поворота:

e11 = e11 + 0,5 ()

e22 = e22 + 0,5 ()

e33 = e33 + 0,5 ()

e12= e12 + 0,5 (-e11w23 + e22w13 - w12w21)

e13= e13 + 0,5 (e11w32 - w13w31 - w12w33)

e23= e23 + 0,5 (- w32w23 -e22w31 + e33w21)

(u21 = -w23; u23 = w21; u31 = w32; u12 = w13; u32 = -w31;

u31 = w32; u11 = e11; u22 = e22; u33 = e33)

Введем следующие предположения:

eii << 1 - деформации растяжения -сжатия малы

предполагаем, что величины поворотов w13 << 1; w23 << 1, а в отношении остальных величин можно принять, что << 1

wij - угол поворота i-го орта относительно j-го орта. Таким образом из соотношений (…) следует:

e11 = e11 + 0,5

e22 = e22 + 0,5

e33 = e33 + 0,5 ()

e12= e12 - 0,5w12 w21

e13= e13 + 0,5 (e11w32 - w13w31 - w12w33)

e23= e23 + 0,5 (- w32w23 -e22w31 + e33w21)

Гипотезы Кирхгофа-Лява

Результаты, полученные в предыдущих параграфах, основаны на геометрических и