Процедура расчета и создания стержней с заданными характеристиками

Вычисляем напряжения в крайних точках и строим эпюру σ (рис. 7,б)

Эпюра τ. Она строится по формуле Журавского

Находим значения τ в 4 характерных точках по высоте сечения (необходимые вычисления представлены в табл. 3) и строим касательные напряжения (рис. 7,в)

Таблица 3 – Вычисления касательные напряжений в характерных точках

Определение главных напряжений в точке К (yк /h= – 0,1):

– напряжение в поперечном сечении

МПа

МПа

– величины главных напряжений

σ1 = 35,25 МПа

σ3 = – 5,25 МПа

– ориентация главных площадок

21є

Экстремальные касательные напряжения равны по величине

МПа

и действуют на площадках, равнонаклоненных к осям 1 и 3.

3.2 Выбор материала

Согласно схеме нагружения (рис. 9,а), подобрать сечение балки (рис. 10), изготовленной из материала, неодинаково работающего на растяжение и сжатие.

Принять: М = 4qa2 кН·м, F = 2qa кН, q= 15 кН/м, а = 1,2 м,

[σр] = 40 МПа, [σс] = 70 МПа

Решение

1. Определение опорных реакций и построение эпюр Qx и Mx.

ΣmB=0

RA4a - 2qaa - 4qa2- q3a3,5a = 0

RA = 4,125qa

ΣYi=0

RA - 2qa - q3a+ RB = 0

RB =0,875qa

Эпюра Qy. Строится по формуле

Q = Q0 ± qz

В данном случае берем знак «минус», так как погонная нагрузка направлена вниз. Находим значения поперечной силы в характерных точках и строим ее эпюру (рис. 9,б)

QС = 0

QCA = QC –qa= – qa

QA = QCA + RA = – qa + 4,125qa = 3,125qa

QAF = QA – 2qa = 3,125qa – 2qa = 1,125qa

QFD = QAF = 1,125qa

QD = QFD – 2qa = 1,125qa – 2qa = – 0,875qa

QDB = QD = – 0,875qa

QB = QDB + RB = – 0,875qa + 0,875qa = 0

Эпюра Mx. Строится по формуле

Mx = M0 + Q0Z – 0,5qz2

Изгибающий момент изменяется по квадратичному закону на участке CA и AF (q=const) и по линейному закону – на участках FD и DB (q=0). Вычисляем значения в характерных точках и строим эпюру (рис. 9,в)

MС = –4qa2

MA = MС – qa2 = – 4qa2 – 0,5 = – 4,5qa2

MF = MA + qa2 = – 10qa2+ 4qa2 = – 6qa2

MD = MF + 1,125qa2 = – 0,25qa2+ 1,125qa2 = 0,875qa2

MB = MD – 0,875qa2 = 0,875qa2+ 0,875qa2 = 0

Расчетный изгибающий момент равен

Mрас = |MA| = 4,5qa2 = 4,5·15·103·1,22 = 97,2 кН·м

Геометрические характеристики сечения

Положение центра тяжести.

Необходимые вычисления представлены в табл. 4.

Таблица 4 – Положение центра тяжести

Момент инерции относительно главной центральной оси.

Предварительно определим моменты для элементов сечения относительно собственных центральных осей, а последующие вычисления выполним в табличной форме (табл. 5)

Таблица 5 – Момент инерции

Момент сопротивления

Поскольку материал хуже работает на растяжение, то с точки зрения наиболее эффективного его использования профиль следует расположить так, чтобы более тонкий слой толщиной h2 испытывал растяжение в опасном сечении А. В этом сечении растяжение возникает в верхней части балки, поэтому профиль следует расположить полостью вниз.

Подбор сечения балки.

Находим необходимые размеры:

– из условия прочности на растяжение

мм

– из условия прочности на сжатие

мм

Принимаем большее значение t = max { tр , tс} = 113 мм.

В опорном сечение D изгибающий момент меньше расчетного. Поэтому здесь нужно проверить прочность балки на растяжение. Находим

МПа

Т.к. перенапряжение составляет 15,4%, что недопустимо, принимаем t =200 мм

МПа

В этом случае перенапряжение составляет 2,78%, что допустимо, т.к. 2,78% < 5%, следовательно прочность балки при найденных размерах будет обеспечена.

Создание стержня определенной жесткости

Подобрать сечение балки (рис. 11,а), удовлетворяющее условиям прочности и жесткости. Допускаемое напряжение материала определяется исходя из диаграммы растяжения материала (задача 1.3). Исследование перемещения выполнить двумя способами:

– пользуясь методом начальных параметров, определить прогибы и углы поворота сечений балки с координатами z = 0, a, 2a, 3a, 4a, 5a; изобразить изогнутую ось балки и показать на ней найденные перемещения;

– определить прогибы в середине пролета и на концах консолей, а также углы поворота на опорах энергетическим методом.

Принять: q= 15 кН/м, а = 1,2 м, [σ] = 220 МПа, l / [ f ] = 800

Решение

1. Определение опорных реакций и построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента.

ΣmB=0

RA4a + 1,5qa2 – q4a2а- 1,5qa·a = 0

RA = 2qa

ΣYi=0

RA - 4qa + 1,5qa + RB = 0

RB =0,5qa

Эпюра Qy. Поперечная сила изменяется на всех участках по линейному и принимает в характерных точках следующие значения (рис. 11,б)

QA=RA=2qa

QAD=QA – qa=2qa – qa=qa

QDB=QAD –q3a=qa – 3qa= – 2qa

QB=QDB + RB = – 2qa + 0,5qa= – 1,5qa

QBC =QB = – 1,5qa

QC=QDC + 1,5qa = – 1,5qa +1,5qa = 0

Эпюра Mx. Изгибающий момент изменяется по квадратичному закону на участке AB (q=const) и по линейному закону – на участке BC (q=0). Вычисляем значения в характерных точках и строим эпюру (рис. 11,в)

MA = 0

MAD = MA + qa2 = 0+ 1,5qa2 = 1,5qa2

MD = MAD + 1,5qa2 = 1,5qa2+ 1,5qa2 = 3qa2

ME = MD + qa2 = 3qa2+ 0,5qa2 = 3,5qa2

MB = ME – qa2 = 3,5qa2 – 2qa2 = 1,5qa2

MC = MB – 1,5qa2 = 1,5qa2 – 1,5qa2 = 0

Расчетный изгибающий момент равен

Mрас = |ME| = 3,5qa2 = 3,5·15·103·1,22 = 75,6 кН·м

Определение перемещений.

Для перемещения упругих перемещений в инженерной практике применяются как аналитические (точные и приближенные), так и графические методы. Из точных аналитических методов следует отметить метод начальных параметров и энергетический метод. К приближенным относят метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ).

Определим первыми двумя методами.

Метод начальных параметров.

Из граничных условий задачи имеем: νA = 0, νB = 0. Первое дает ν0 = 0, а из второго находим θ0 :

откуда

А теперь находим искомые перемещения:

– сечение z=a

– сечение z=2a

– сечение z=3a

– сечение z=4a

– сечение z=5a

Результаты вычислений сведем в табл. 6 и построим упругую линию балки, показано на рис. 11,а пунктиром.

Таблица 6 – Перемещения и угол поворота в сечение балки

Для расчета балки на жесткость необходимо знать максимальный прогиб, который имеет место в сечении, где угол поворота равен нулю. Последний описывает полиномом 3-й степени и в связи с этим нахождение максимального прогиба связано с громоздкими вычислениями. С другой стороны, судя по приведенной выше таблице, он имеет место в интервале (2а, 3а). В силу непрерывности функции прогибов νmax мало отличается от прогиба сечения E. Следовательно, с небольшой погрешность (не превышающей точности инженерных расчетов) можно принять

νmax ≈ νЕ =

Энергетический метод

Искомые перемещения находятся с помощью интеграла Мора

для вычисления которых в простых случаях можно пользоваться правилом Верещагина

а в более сложных случаях – формулой Симпсона

При наличие на данном участке равномерно распределенной погонной нагрузки q величина момента посредине участка находится следующим образом

Величина моментов Млев и Мпр берутся со своими знаками. Знак «плюс» перед вторым слагаемым соответствует погонной нагрузке, направленной вниз, а «минус» – вверх.

Строим эпюры моментов от заданной нагрузки и от единичных воздействий, приложенных к балке в направлении искомых перемещений (рис. 11,г – з).

Определяем моменты по средине участков

Перемножая соответствующие эпюры, находим искомые перемещения, увеличенные для удобства вычислений в EI раз:

Знак «минус» у перемещения указывает, что оно противоположно направлению соответствующего единичного фактора: единичной силы для прогиба сечения С и единичного момента для угла поворота сечения В, т.е. прогиб νС направлен вверх, а сечение В поворачивается против часовой стрелки. Знак «плюс» у угла поворота θА указывает, что сечение В поворачивается в направлении единичного момента, т.е. по часовой стрелки.

Подбор сечения балки по условиям прочности и жесткости.

Из условия прочности имеем

Отсюда, учитывая что

Mmax = 75,6 кН

находим диаметр сечения балки, удовлетворяющий условию прочности

мм

Далее согласно условию жесткости

откуда с учетом