Дискретизация и квантование изображений
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК.
Еще с середины 40-ых годов , специалисты по радиоэлектроники начали задумываться над возможностью применения специализированных цифровых устройств для решения разнообразных задач ,связанных с обработкой сигналов . Нечего и говорить , что в то время выводы не были благоприятными . С точки зрения стоимости, размеров и надежности предпочтение следовало отдать аналоговой фильтрации и аналоговым методам спектрального анализа . В 50-ых годах теория управления , частично основанная на работе Гуревича ( 1945 г.) , уже утвердилась как самостоятельное научное направление ; были глубоко изучены принципы дискретизации колебаний и возникающие при этом спектральные эффекты , а математический аппарат теории z-преобразования , существовавший еще со времен Лапласа , начал находить применение в радиоэлектроники и смежных дисциплинах . Однако достигнутый уровень развития техники позволял получить практические результаты только в задачах управления медленными процессами и обработке низкочастотных сейсмических сигналов . К середине 60-ых годов были оценены потенциальные возможности интегральных микросхем , что позволило представить полную систему обработки сигналов , для которых наилучшая техническая реализация была бы именно цифровой .
Первый крупный вклад в теорию цифровой обработки сигналов , касающийся анализа и синтеза цифровых фильтров , был сделан Кайзером ( фирма Bell ) ; он показал , как можно рассчитывать цифровые фильтры с нужными характеристиками , используя билинейное преобразование . Примерно тогда же ( 1965 г.) появилась статья Кули и Тьюки о быстром методе вычисления дискретного преобразования Фурье , давшая мощный толчек развитию этого нового технического направления . Позже метод был развит и стал широко известен как быстрое преобразование Фурье ( БПФ ) . Ценность этого метода заключается в сокращении времени вычисления дискретного преобразования Фурье ( на один-два порядка для большинства практических задач ). Опубликование статьи Кули и Тьюки ускорило развитие строгой и достаточно полной теории цифровой фильтрации . Важнейшее значение метода БПФ состояло в том , что он наглядно продемонстрировал , насколько цифровые методы при спектральном анализе могут оказаться экономичнее аналоговых . После создания метода БПФ интенсивность исследований в области цифровой фильтрации резко возросла , и в настоящее время цифровые методы широко используются для спектрального анализа самых разнообразных сигналов , начиная с низкочастотных колебаний в сейсмологии и звуковых колебаний в гидрологии и при анализе речи и кончая видеосигналами в радиолокации .
Первой попыткой исчерпывающего изложения теории цифровой обработки сигналов была книга Гоулда и Рэйдера ( 1969 г.) . Эту книгу применяли в качестве учебного пособия для аспирантов, и как руководство для инженеров ,работающих в промышленности . Естественно , что книга не могла удовлетворить и тех и других . Не нужно доказывать , что хорошее учебное пособие может быть составленно только на основе курса , читавшегося в течении по крайней мере несколько лет , и подходящего набора задач .
ПРИЧИНЫ ВНЕДРЕНИЯ ЦОС В
ЭЛЕКТРОСВЯЗЬ.
1. Сложность ( нередко невозможность ) решения некоторых задач аналоговым методом .
2. Прогресс в развитии электроники ( создание высокоскоростных многоразрядных АЦП , разработка сигнальных процессоров ) .
3. ЦОС позволяет реализовать универсальные модемы , в которых изменением программы осуществляется переход с одного вида сигнала на другой ( т.е. с одной модуляции на другую ).
4. ЦОС позволяет строить адаптивные радиоприемные устройства, работающие во все усложняющейся электромагнитной обстановке ( т.е. спектр постоянно загружается сигналами ) .
5. Простота , автоматически сменных , алгоритмов ЦОС и высокая точность их реализации .
6. ЦОС позволяет реализовать более сложные алгоритмы радио приема ( разнесенный прием , компенсация и подавление сосредоточенных помех и прием в целом ) .
7. При использование ЦОС значительно меньше влияет разброс параметров и действие дестабилизирующих факторов.
8. Высокая интеграция цифровых микросхем позволяет реализовать очень сложные алгоритмы приема сигналов , сохраняя приемлемый объем и стоимость аппаратуры .
9. Цифровая аппаратура легко поддается миниатюризации. Высокая технологичность и отсутствие регулировки понижает стоимость.
10.Проектирование цифровых устройств легче чем аналоговых и поддается автоматизации ( легко модулируются на ЭВМ ) .
11.ЦОС облегчает работу по созданию спецэфектов на ТВ ( работа режиссеров на теле-студии ) .
12.ЦОС позволяет существенно повысить качество изображения.
ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ЦОС .
1. Для ЦОС необходимо преобразовать аналоговый сигнал в цифровой ( требуется достаточно большой уровень сигнала - порядка 1в ) .
2. Преобразование аналогово сигнала в цифровой приводит к появлению погрешности дискретизации во времени и к погрешности квантования по уровню ( специфические погрешности ) .
3. Процесс обработки сигналов сопровождается погрешностями , вызванными округлениями результатов ( это приводит к ошибкам - шумам ) .
4.Требуется увеличение динамического диапазона и ширины спектра преобразуемых аналоговых сигналов ( т.к. каналы с ограниченной полосой пропускания и сложной помеховой обстановкой ) . Чтобы достигнуть возможности аналоговой техники нужно иметь динамический диапазон АЦП 120-130 дб с df=100 кГц . Таких АЦП пока нет . Реализуемый при df=100 кГц динамический диапазон АЦП 70-80 дб . Для широкополосных сигналов при df=100 Мгц динамический диапазон 6-24 дб .
5. Низкая скорость работы цифровых вычислительных устройств. (Сигнальные процессоры : КМ1813ВЕ11 , ТМS320.10 , ТМS320.20 , ТМS320.30 , ДSР5600 , ТМS320.50 .)
ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА .
Любой сигнал с ограниченным спектром ( бесконечный во времени ) однозначно определяется своими отсчетами , взятыми через интервал времени dt=1/2F т.е.
, где u(kDt)-аналоговая величина;
Эта теорема утверждает , что если сигнал f(t) имеет преобразование Фурье Sf(w) отличное от нуля при частотах меньших 2pFm . То в отсчетах сигнала f(kDt) взятых через интервал Dt=1/2Fm содержится вся информация о непрерывной функции f(t) . Из теоремы следует , что эти отсчеты содержат информацию о сигнале f(t) в любой момент времени . Однако частота отсчетов должна быть по крайней мере в два раза больше высшей частоты сигнала Fm .
Доказательство.:
Дан сигнал f(t) , его спектр : S(w)= при |w|<2pFm ,
0 , при |w|>2pFm.
Представим некоторую реализацию сигнала f(t) и его спектр S(f):
Если отсчеты сигнала брать с помощью бесконечно узких импульсов,расположенных в непосредственной близости друг от друга , мы однозначно определим любую функцию . Если интервал между импульсами увеличивать , то где-то мы начнем терять информацию о сигнале . Рассмотрим случай ,когда в качестве отсчетных импульсов используется периодическая последовательность импульсов длительностью t , повторяемых через Dt=1/2Fm . Временное и спектральное представление этих импульсов:
Спектр отсчетных импульсов можно записать в виде ряда Фурье , т.е. yD(t)=A1coslt+A2coslt+A3coslt+............ Процедуру взятия отсчетов удобно рассматривать как умножение функции f(t) на функцию yD(t) . Результирующий дискретизованный сигнал можно представить в виде суммы последовательностей импульсов ,амплитуды которых равны значению функции f(t) в момент отсчета , а спектр такого сигнала представляет собой периодически повторяющуюся функцию Sf(w) с периодом l ,т.е.мы наблюдаем изменение амплитуды импульсов отсчета по закону f(t) и соответственно имеем амплитудную модуляцию каждой гармоники спектра импульсов отсчета сигналa :
Для восстановления првоначального сигнала нам достаточно отфильтровать полученный сигнал ФНЧ с частотой среза расположенной в интервале от Fm до 1/Dt-Fm . Рассмотрим какова может быть наименьшая частота следования счетных D импульсов, что бы еще имелась возможность отфильтровать полезный сигнал. В случае , если 1/D t=2Fm мы еще имеем возможность отфильтровать полезный сигнал если же 1/Dt<2Fm ,то произойдет наложение спектральных составляющих и восстановление первоначального сигнала без ошибки станет невозможным. Следовательно , для восстановления сигнала ,полученные отсчетные импульсы необходимо подать на вход ФНЧ с частотой среза равной Fm. Реакция идеального ФНЧ на узкий импульс единичной амплитуду представляет собой функцию вида : y(t)=sin2pFt/2pFt
На вход фильтра мы подаем сумму импульсов с амплитудами равными f(kDt) Разложение сигнала f(t) в ряд Котельникова указывает на технический способ передачи непрерывной функции (сигнала) f(t)с ограниченным спектром путем передачи отсчетных импульсов ,который сводиться к следующему:
и со сдвигом один относительно другого на Dt=1/2Fm . Сигнал на выходе фильтра представляет собой сумму откликов ,т.е. Что соответствует ряду Котельникова .
Восстановление сигналов по его отсчетам .
1)взятие отсчета f(kDt) функции f(t) в моменты kDt ;
2)значение полученных отсчетов передаются на приемную сторону с использованием любогометода кодирования и модуляции ;
3)на приемной стороне вырабатываются короткие импульсы ,амплитуды которых пропорциональны принятым значениям отсчетов ;
4)полученные импульсы подаются на идеальный ФНЧ с частотой среза Fм . На выходе фильтра получается функция f '(t) , пропорциональная переданной функции f(t) . Идеальный ФНЧ с полосой пропускания Fм при действии на его вход единичного импульса d(t) дает на выходе напряжение ,соответствующее функции : y(t)=sin2p Fmt/2pFmt При восстановлении функции f(t) на вход фильтра подают короткие импульсы с амплитудами , соответствующими f(kDt) и с интервалами Dt. На выходе фильтра получается напряжение , соответствующее сумме откликов фильтра на каждый из импульсов . В моменты времени kDt функция f(t) восстанавливается совершенно точно , так как в этот момент только одна из отсчетных функций y(t-kDt) не равна нулю . В остальные моменты времени для точного восстановления необходимо суммировать бесконечное число отсчетных функций .
Ошибки восстановления сигнала по отсчетам Котельникова.
Как было отмечено выше , точное восстановление сигнала возможно только при строго ограниченном спектре сигнала и при использовании идеального ФНЧ .НА практике мы имеем дело с сигналами конечными во времени, т.е. бесконечным , теоретически , спектром и для восстановления используем реальные ФНЧ . Рассмотрим ошибки восстановления , вызванные реальностью сигнала (сигнал ограничен во времени , т.е. не ограничен по частоте ). Основная энергия сигнала сосредоточена в диапазоне частот до Fm и только малая доля будет выходить за Fm .
1)На основании т. Котельникова мы не можем восстановить спектральные составляющие , лежащие выше частоты Fm .
2)В спектре восстановленного сигнала появяться дополнительные составляющие , представляющие собой зеркальное отображение " вниз " по частоте спектральных составляющих сигнала относительно оси совпадающей с частотой среза идеального ФНЧ и равной Fm .Поясним
это на рисунке: фнч
S f(f) S1(f) S2(f) S3(f)
0 Fm 3Fm f
Огибающая спектральной плотности сигнала f(t) представляет собой функцию S1(f) . Спектр отсчетных импульсов SDf(f) представляет собой периодически повторяемую функцию S1(f) с периодом 2Fm . Идеальный ФНЧ с частотой среза Fm не пропускает составляющие основного сигнала и пропускает составляющие сектра амплитудно-модулируемой первой гармоники спектра отсчетных импульсов (2Fм) .
3)При восстановлении сигнала конечной длительности следует иметь ввиду что :
а) точность восстановления в средней части сигнала будет наибольшей, а по краям наименьшей;
б) в моменты , соответствующие отсчетам сигнал восстанавливается точно, а в средней части между отсчетными моментами ошибка максимальна
ВЫБОРКИ ИЗ АНАЛОГОВОГО СИГНАЛА.
Схема взятия выборки из аналогового сигнала.
1-Умножитель
2-Схема хранения УВХ
3-Квантователь
4-Преобразователь АЦП
5-Регистр
УВХ-устройство выборки и хранения. Перед умножителем стоит фильтр для уменьшения помех. Квантователь находит ближайший оцифрованный уровень. Устройство хранения дает время квантователю для принятия решения. Устройство хранения-конденсатор,окруженный ключами с большим сопротивлением ( т.е.RC-цепочкой с малой емкостью).Постоянная времени t стремится к единице, это переходный процесс в цепочке (т.е. конденсатор заряжается). За время Dt изменение сигнала мало,т.к. очень большое входное сопротивление преобразователя.Это и есть хранение. Преобразователь -преобразует вид кода (т.е. переводит его в бинарную систему счисления, за счет пороговых устройств). Регистр-считывает этот код, а за тем последовательно, побитно передает в линию.
ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ.
Квантование перидического сигнала.
W=2p/T
cosWT, cos2WT, ... , cosnWT.
n=3 n=Ґ
Много ли W нужно иметь и от чего это зависит (зависит от того насколько
гладкий сигнал).Если ширина спектра периодического сигнала конечно,
то он описывается конечным числом гармоник .N-кол-во отсчетов на один период.
ДПФ строго описывает периодический сигнал с конечным спектром ( если это не
соблюдается ,то появляется ошибка в представлении сигнала ДПФ ).
N-1
Cд(t)=е Ckd(t-kDt), где Т=NDt, Ck=C(kDt).
k=0
Ґ
т C(t)d(t-t)dt=C(t)-фильтрующее свойство d-функции.
-Ґ
Ґ
Cд(t)=е Cn*exp(j2npk/T) Пара преобразований Фурье
-Ґ
T
Cn=1/T тCд(t)exp(-j2npt/T)dt
0
NDt N-1
Сn=1/NDt т е Ckd(t-kDt)exp(-j2npt/T)dt={сжали ось времени symbol 120 f "Symbol" s 10symbol 61 f "Symbol" s 10t/symbol 68 f "Symbol" s 10tsymbol 125 f "Symbol" s 10=
0 k=0
N N-1 N-1 N
=1/N т е Ckd(x-k)exp(-j2pnx/n)dx=1/N е Ck т d(x-k)exp(-j2npx/N)dx=
0 k=0 k=0 0
N-1
=1/N е Ckexp(-j2npk/N)
k=0
T=NDt
N-1
Cn=1/N е Ck exp(-j2npk/N) Пара дискретного преобразования Фурье
k=0
N-1
Ck= е Cn exp(jk2np/N)
0
Cn-комплексная гармоника, а N-кол-во отсчетов.
СВОЙСТВА ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ.
1. Линейность - если в цепи отклик на сумму воздействий равен сумме откликов.
Спектр суммы сигналов равен сумме спектров сигналов.
N-1
Ck= е Сxn exp(j2npk/N)
0 Выборки двух сигналов.
N-1
Uk= е Cyn exp(j2npk/N)
0
Zk=Ck+Uk , Линейность преобразования Фурье
Сzn=Cxn+Cyn ( для интегралов и сумм).
2. Для дискретного сигнала кол-во отсчетов спектра ( Сn) равно кол-ву
отсчетов сигнала.
3.Коэффициент (Со) дает постоянную составляющую.
N-1
Со=1/N е Ck ѕ это математическое ожидание.
k=0
4. Если N-четное ,то тогда
N-1 k
Cn/2=1/N е Ck(-1)
k=0
5. Если Ck - вещественные, то Cn ,расположенные симметрично
относительно Cn/2 образуют комплексно сопряженные пары.
N-1 N-1 +
C =1/N е Ck exp(-j2pk(N-n)/N)=1/N е Ck exp(j2kp/N)=Cn
N-n k=0 k=0
Отсчеты выше C повторяют спектр от Co до C .
N/2 N/2
Но мы не нарушаем теорему Котельникова, т.к. Сn комплексное число,
оно требует два числа для своего представления. Следовательно нужно
ровно N отсчетов ,как и по Котельникову ( N=2FT=T/Dt).
ЦАП и АЦП.
1 3 5
4
2 ЦАП АЦП 2
+5в +15в +5в
6