Дискретизация и квантование изображений

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК.

Еще с середины 40-ых годов , специалисты по радиоэлектроники начали задумываться над возможностью применения специализированных цифровых устройств для решения разнообразных задач ,связанных с обработкой сигналов . Нечего и говорить , что в то время выводы не были благоприятными . С точки зрения стоимости, размеров и надежности предпочтение следовало отдать аналоговой фильтрации и аналоговым методам спектрального анализа . В 50-ых годах теория управления , частично основанная на работе Гуревича ( 1945 г.) , уже утвердилась как самостоятельное научное направление ; были глубоко изучены принципы дискретизации колебаний и возникающие при этом спектральные эффекты , а математический аппарат теории z-преобразования , существовавший еще со времен Лапласа , начал находить применение в радиоэлектроники и смежных дисциплинах . Однако достигнутый уровень развития техники позволял получить практические результаты только в задачах управления медленными процессами и обработке низкочастотных сейсмических сигналов . К середине 60-ых годов были оценены потенциальные возможности интегральных микросхем , что позволило представить полную систему обработки сигналов , для которых наилучшая техническая реализация была бы именно цифровой .

Первый крупный вклад в теорию цифровой обработки сигналов , касающийся анализа и синтеза цифровых фильтров , был сделан Кайзером ( фирма Bell ) ; он показал , как можно рассчитывать цифровые фильтры с нужными характеристиками , используя билинейное преобразование . Примерно тогда же ( 1965 г.) появилась статья Кули и Тьюки о быстром методе вычисления дискретного преобразования Фурье , давшая мощный толчек развитию этого нового технического направления . Позже метод был развит и стал широко известен как быстрое преобразование Фурье ( БПФ ) . Ценность этого метода заключается в сокращении времени вычисления дискретного преобразования Фурье ( на один-два порядка для большинства практических задач ). Опубликование статьи Кули и Тьюки ускорило развитие строгой и достаточно полной теории цифровой фильтрации . Важнейшее значение метода БПФ состояло в том , что он наглядно продемонстрировал , насколько цифровые методы при спектральном анализе могут оказаться экономичнее аналоговых . После создания метода БПФ интенсивность исследований в области цифровой фильтрации резко возросла , и в настоящее время цифровые методы широко используются для спектрального анализа самых разнообразных сигналов , начиная с низкочастотных колебаний в сейсмологии и звуковых колебаний в гидрологии и при анализе речи и кончая видеосигналами в радиолокации .

Первой попыткой исчерпывающего изложения теории цифровой обработки сигналов была книга Гоулда и Рэйдера ( 1969 г.) . Эту книгу применяли в качестве учебного пособия для аспирантов, и как руководство для инженеров ,работающих в промышленности . Естественно , что книга не могла удовлетворить и тех и других . Не нужно доказывать , что хорошее учебное пособие может быть составленно только на основе курса , читавшегося в течении по крайней мере несколько лет , и подходящего набора задач .

ПРИЧИНЫ ВНЕДРЕНИЯ ЦОС В

ЭЛЕКТРОСВЯЗЬ.

1. Сложность ( нередко невозможность ) решения некоторых задач аналоговым методом .

2. Прогресс в развитии электроники ( создание высокоскоростных многоразрядных АЦП , разработка сигнальных процессоров ) .

3. ЦОС позволяет реализовать универсальные модемы , в которых изменением программы осуществляется переход с одного вида сигнала на другой ( т.е. с одной модуляции на другую ).

4. ЦОС позволяет строить адаптивные радиоприемные устройства, работающие во все усложняющейся электромагнитной обстановке ( т.е. спектр постоянно загружается сигналами ) .

5. Простота , автоматически сменных , алгоритмов ЦОС и высокая точность их реализации .

6. ЦОС позволяет реализовать более сложные алгоритмы радио приема ( разнесенный прием , компенсация и подавление сосредоточенных помех и прием в целом ) .

7. При использование ЦОС значительно меньше влияет разброс параметров и действие дестабилизирующих факторов.

8. Высокая интеграция цифровых микросхем позволяет реализовать очень сложные алгоритмы приема сигналов , сохраняя приемлемый объем и стоимость аппаратуры .

9. Цифровая аппаратура легко поддается миниатюризации. Высокая технологичность и отсутствие регулировки понижает стоимость.

10.Проектирование цифровых устройств легче чем аналоговых и поддается автоматизации ( легко модулируются на ЭВМ ) .

11.ЦОС облегчает работу по созданию спецэфектов на ТВ ( работа режиссеров на теле-студии ) .

12.ЦОС позволяет существенно повысить качество изображения.

ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ЦОС .

1. Для ЦОС необходимо преобразовать аналоговый сигнал в цифровой ( требуется достаточно большой уровень сигнала - порядка 1в ) .

2. Преобразование аналогово сигнала в цифровой приводит к появлению погрешности дискретизации во времени и к погрешности квантования по уровню ( специфические погрешности ) .

3. Процесс обработки сигналов сопровождается погрешностями , вызванными округлениями результатов ( это приводит к ошибкам - шумам ) .

4.Требуется увеличение динамического диапазона и ширины спектра преобразуемых аналоговых сигналов ( т.к. каналы с ограниченной полосой пропускания и сложной помеховой обстановкой ) . Чтобы достигнуть возможности аналоговой техники нужно иметь динамический диапазон АЦП 120-130 дб с df=100 кГц . Таких АЦП пока нет . Реализуемый при df=100 кГц динамический диапазон АЦП 70-80 дб . Для широкополосных сигналов при df=100 Мгц динамический диапазон 6-24 дб .

5. Низкая скорость работы цифровых вычислительных устройств. (Сигнальные процессоры : КМ1813ВЕ11 , ТМS320.10 , ТМS320.20 , ТМS320.30 , ДSР5600 , ТМS320.50 .)

ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА .

Любой сигнал с ограниченным спектром ( бесконечный во времени ) однозначно определяется своими отсчетами , взятыми через интервал времени dt=1/2F т.е.

, где u(kDt)-аналоговая величина;

Эта теорема утверждает , что если сигнал f(t) имеет преобразование Фурье Sf(w) отличное от нуля при частотах меньших 2pFm . То в отсчетах сигнала f(kDt) взятых через интервал Dt=1/2Fm содержится вся информация о непрерывной функции f(t) . Из теоремы следует , что эти отсчеты содержат информацию о сигнале f(t) в любой момент времени . Однако частота отсчетов должна быть по крайней мере в два раза больше высшей частоты сигнала Fm .

Доказательство.:

Дан сигнал f(t) , его спектр : S(w)= при |w|<2pFm ,

0 , при |w|>2pFm.

Представим некоторую реализацию сигнала f(t) и его спектр S(f):

Если отсчеты сигнала брать с помощью бесконечно узких импульсов,расположенных в непосредственной близости друг от друга , мы однозначно определим любую функцию . Если интервал между импульсами увеличивать , то где-то мы начнем терять информацию о сигнале . Рассмотрим случай ,когда в качестве отсчетных импульсов используется периодическая последовательность импульсов длительностью t , повторяемых через Dt=1/2Fm . Временное и спектральное представление этих импульсов:

Спектр отсчетных импульсов можно записать в виде ряда Фурье , т.е. yD(t)=A1coslt+A2coslt+A3coslt+............ Процедуру взятия отсчетов удобно рассматривать как умножение функции f(t) на функцию yD(t) . Результирующий дискретизованный сигнал можно представить в виде суммы последовательностей импульсов ,амплитуды которых равны значению функции f(t) в момент отсчета , а спектр такого сигнала представляет собой периодически повторяющуюся функцию Sf(w) с периодом l ,т.е.мы наблюдаем изменение амплитуды импульсов отсчета по закону f(t) и соответственно имеем амплитудную модуляцию каждой гармоники спектра импульсов отсчета сигналa :

Для восстановления првоначального сигнала нам достаточно отфильтровать полученный сигнал ФНЧ с частотой среза расположенной в интервале от Fm до 1/Dt-Fm . Рассмотрим какова может быть наименьшая частота следования счетных D импульсов, что бы еще имелась возможность отфильтровать полезный сигнал. В случае , если 1/D t=2Fm мы еще имеем возможность отфильтровать полезный сигнал если же 1/Dt<2Fm ,то произойдет наложение спектральных составляющих и восстановление первоначального сигнала без ошибки станет невозможным. Следовательно , для восстановления сигнала ,полученные отсчетные импульсы необходимо подать на вход ФНЧ с частотой среза равной Fm. Реакция идеального ФНЧ на узкий импульс единичной амплитуду представляет собой функцию вида : y(t)=sin2pFt/2pFt

На вход фильтра мы подаем сумму импульсов с амплитудами равными f(kDt) Разложение сигнала f(t) в ряд Котельникова указывает на технический способ передачи непрерывной функции (сигнала) f(t)с ограниченным спектром путем передачи отсчетных импульсов ,который сводиться к следующему:

и со сдвигом один относительно другого на Dt=1/2Fm . Сигнал на выходе фильтра представляет собой сумму откликов ,т.е. Что соответствует ряду Котельникова .

Восстановление сигналов по его отсчетам .

1)взятие отсчета f(kDt) функции f(t) в моменты kDt ;

2)значение полученных отсчетов передаются на приемную сторону с использованием любогометода кодирования и модуляции ;

3)на приемной стороне вырабатываются короткие импульсы ,амплитуды которых пропорциональны принятым значениям отсчетов ;

4)полученные импульсы подаются на идеальный ФНЧ с частотой среза Fм . На выходе фильтра получается функция f '(t) , пропорциональная переданной функции f(t) . Идеальный ФНЧ с полосой пропускания Fм при действии на его вход единичного импульса d(t) дает на выходе напряжение ,соответствующее функции : y(t)=sin2p Fmt/2pFmt При восстановлении функции f(t) на вход фильтра подают короткие импульсы с амплитудами , соответствующими f(kDt) и с интервалами Dt. На выходе фильтра получается напряжение , соответствующее сумме откликов фильтра на каждый из импульсов . В моменты времени kDt функция f(t) восстанавливается совершенно точно , так как в этот момент только одна из отсчетных функций y(t-kDt) не равна нулю . В остальные моменты времени для точного восстановления необходимо суммировать бесконечное число отсчетных функций .

Ошибки восстановления сигнала по отсчетам Котельникова.

Как было отмечено выше , точное восстановление сигнала возможно только при строго ограниченном спектре сигнала и при использовании идеального ФНЧ .НА практике мы имеем дело с сигналами конечными во времени, т.е. бесконечным , теоретически , спектром и для восстановления используем реальные ФНЧ . Рассмотрим ошибки восстановления , вызванные реальностью сигнала (сигнал ограничен во времени , т.е. не ограничен по частоте ). Основная энергия сигнала сосредоточена в диапазоне частот до Fm и только малая доля будет выходить за Fm .

1)На основании т. Котельникова мы не можем восстановить спектральные составляющие , лежащие выше частоты Fm .

2)В спектре восстановленного сигнала появяться дополнительные составляющие , представляющие собой зеркальное отображение " вниз " по частоте спектральных составляющих сигнала относительно оси совпадающей с частотой среза идеального ФНЧ и равной Fm .Поясним

это на рисунке: фнч

S f(f) S1(f) S2(f) S3(f)

0 Fm 3Fm f

Огибающая спектральной плотности сигнала f(t) представляет собой функцию S1(f) . Спектр отсчетных импульсов SDf(f) представляет собой периодически повторяемую функцию S1(f) с периодом 2Fm . Идеальный ФНЧ с частотой среза Fm не пропускает составляющие основного сигнала и пропускает составляющие сектра амплитудно-модулируемой первой гармоники спектра отсчетных импульсов (2Fм) .

3)При восстановлении сигнала конечной длительности следует иметь ввиду что :

а) точность восстановления в средней части сигнала будет наибольшей, а по краям наименьшей;

б) в моменты , соответствующие отсчетам сигнал восстанавливается точно, а в средней части между отсчетными моментами ошибка максимальна

ВЫБОРКИ ИЗ АНАЛОГОВОГО СИГНАЛА.

Схема взятия выборки из аналогового сигнала.

1-Умножитель

2-Схема хранения УВХ

3-Квантователь

4-Преобразователь АЦП

5-Регистр

УВХ-устройство выборки и хранения. Перед умножителем стоит фильтр для уменьшения помех. Квантователь находит ближайший оцифрованный уровень. Устройство хранения дает время квантователю для принятия решения. Устройство хранения-конденсатор,окруженный ключами с большим сопротивлением ( т.е.RC-цепочкой с малой емкостью).Постоянная времени t стремится к единице, это переходный процесс в цепочке (т.е. конденсатор заряжается). За время Dt изменение сигнала мало,т.к. очень большое входное сопротивление преобразователя.Это и есть хранение. Преобразователь -преобразует вид кода (т.е. переводит его в бинарную систему счисления, за счет пороговых устройств). Регистр-считывает этот код, а за тем последовательно, побитно передает в линию.

ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ.

Квантование перидического сигнала.

W=2p/T

cosWT, cos2WT, ... , cosnWT.

n=3 n=Ґ

Много ли W нужно иметь и от чего это зависит (зависит от того насколько

гладкий сигнал).Если ширина спектра периодического сигнала конечно,

то он описывается конечным числом гармоник .N-кол-во отсчетов на один период.

ДПФ строго описывает периодический сигнал с конечным спектром ( если это не

соблюдается ,то появляется ошибка в представлении сигнала ДПФ ).

N-1

Cд(t)=е Ckd(t-kDt), где Т=NDt, Ck=C(kDt).

k=0

Ґ

т C(t)d(t-t)dt=C(t)-фильтрующее свойство d-функции.

-Ґ

Ґ

Cд(t)=е Cn*exp(j2npk/T) Пара преобразований Фурье

-Ґ

T

Cn=1/T тCд(t)exp(-j2npt/T)dt

0

NDt N-1

Сn=1/NDt т е Ckd(t-kDt)exp(-j2npt/T)dt={сжали ось времени symbol 120 f "Symbol" s 10symbol 61 f "Symbol" s 10t/symbol 68 f "Symbol" s 10tsymbol 125 f "Symbol" s 10=

0 k=0

N N-1 N-1 N

=1/N т е Ckd(x-k)exp(-j2pnx/n)dx=1/N е Ck т d(x-k)exp(-j2npx/N)dx=

0 k=0 k=0 0

N-1

=1/N е Ckexp(-j2npk/N)

k=0

T=NDt

N-1

Cn=1/N е Ck exp(-j2npk/N) Пара дискретного преобразования Фурье

k=0

N-1

Ck= е Cn exp(jk2np/N)

0

Cn-комплексная гармоника, а N-кол-во отсчетов.

СВОЙСТВА ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ.

1. Линейность - если в цепи отклик на сумму воздействий равен сумме откликов.

Спектр суммы сигналов равен сумме спектров сигналов.

N-1

Ck= е Сxn exp(j2npk/N)

0 Выборки двух сигналов.

N-1

Uk= е Cyn exp(j2npk/N)

0

Zk=Ck+Uk , Линейность преобразования Фурье

Сzn=Cxn+Cyn ( для интегралов и сумм).

2. Для дискретного сигнала кол-во отсчетов спектра ( Сn) равно кол-ву

отсчетов сигнала.

3.Коэффициент (Со) дает постоянную составляющую.

N-1

Со=1/N е Ck ѕ это математическое ожидание.

k=0

4. Если N-четное ,то тогда

N-1 k

Cn/2=1/N е Ck(-1)

k=0

5. Если Ck - вещественные, то Cn ,расположенные симметрично

относительно Cn/2 образуют комплексно сопряженные пары.

N-1 N-1 +

C =1/N е Ck exp(-j2pk(N-n)/N)=1/N е Ck exp(j2kp/N)=Cn

N-n k=0 k=0

Отсчеты выше C повторяют спектр от Co до C .

N/2 N/2

Но мы не нарушаем теорему Котельникова, т.к. Сn комплексное число,

оно требует два числа для своего представления. Следовательно нужно

ровно N отсчетов ,как и по Котельникову ( N=2FT=T/Dt).

ЦАП и АЦП.

1 3 5

4

2 ЦАП АЦП 2

+5в +15в +5в

6