Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре

Министерство общего и профессионального образования РФ

Воронежский государственный университет

факультет ПММ

кафедра Дифференциальных уравнении

Курсовая работа

“Моделирование распределения потенциала

в МДП-структуре”

Исполнитель : студент 4 курса 5 группы

Никулин Л.А.

Руководитель : старший преподаватель

Рыжков А.В.

Воронеж 1998г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В МДП-СТРУКТУРЕ

Математическая модель - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ

Использование разностных схем для решения

уравнения Пуассона и для граничных условий

раздела сред

Уравнение Пуассона - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Граничные условия раздела сред - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8

Общий алгоритм численого решения задачи

Метод установления - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 10

Метод переменных направлений - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13

Построение разностных схем - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16

ПРИЛОЖЕНИЕ - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ЛИТЕРАТУРА - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Математическая модель распределения потенциала в МДП-структуре

Математическая модель

Пусть(x,y) - функция, описывающая распределение потенциала в полупроводниковой структуре. В области оксла (СDEF) она удовлетворяет уравнению Лапласа:

d²_d²_

dx² dy²

а в области полупроводника (прямоугольник ABGH) - уравнению Пуассона:

d² _ d² _{= }

dx² dy²

где

q - элементарный заряд e;

_nn -диэлектрическая проницаемость кремния;

N_d(x,y) -распределение концентрации донорской примеси в подложке ;

N_a(x,y) -распределение концентрации акцепторной примеси в подложке;

_ -диэлектрическая постоянная

_{0 D E}

_y

_{B G}

^{C F}

_{A H}

_x

На контактах прибора задано условие Дирихле:

| _BC = Uu

| _DE = Uз

| _FG = Uc

| _AH = Un

На боковых сторонах полупроводниковой структуры требуется выполнение

однородного условия Неймана вытекающее из симметричности структуры

относительно линий лежащих на отрезках AB и GH:

d_ d_

dy _AB dy _GH

На боковых сторонах окисла так же задается однородное условие Неймана

означающее что в направлении оси OY отсутствует течение электрического

тока:

d_ d_

dy _DC dy _EF

На границе раздела структуры окисел- полупроводник ставится условие

сопряжения :

| _-0 = | ₊₀

_ok E_x |_-0 - _nn E_x |₊₀ = - Q_ss

где Q_ss -плотность поверхностного заряда;

_ok -диэлектрическая проницаемость окисла кремния;

_nn -диэлектрическая проницаемость полупроводника .

Под символом “+0” и”-0” понимают что значение функции берется бесконечно близко к границе CF со стороны либо полупроводника либо окисла кремния . Здесь первое условие означает непрерывность потенциала при переходе границы раздела сред а второе - указывает соотношение связывающее величину разрыва вектора напряженности при переходе из одной среды в другую с величиной поверхностного заряда на границе раздела.

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ

Использование разностных схем для решения уравнения Пуассона и для граничных условий раздела сред

Уравнение Пуассона

В области {(x,y) : 0 < x < L_x , 0 < y < L_y } вводится сетка

W={(x,y) : 0 < i < M₁ , 0 < j < M₂}

x₀ =0 , y₀=0, x_M1 = L_x , y_M2 = L_y

x_i+1 = x_i + h_i+1 , y_j+1 = y_j+ r_j+1

i = 0,...,M₁-1 j = 0,...,M₂-1

Потоковые точки:

x_{i+ Ѕ} = x_{i +} h_i+1 , i = 0,1,...,M₁-1

2

y_{j+ Ѕ} = y_{j +} r_j+1 , j = 0,1,...,M₂-1

2

Обозначим :

U(x_i,y_j) = U_ij

I(x_i+Ѕ,y_j) = I_i+Ѕ,j

I(x_i,y_j+Ѕ) = I_i,j+Ѕ

Проинтегрируем уравнение Пуассона:

 = - q (N_d + N_a)

₀_n

Q(x,y)

по области:

V_ij = { (x,y) : x_{i- Ѕ} < x < x_{i+ Ѕ} , y_{j- Ѕ} < y < y_{j+ Ѕ} }

x_{i+ Ѕ} y_{j+ Ѕ} x_{i+ Ѕ} y_{j+ Ѕ}

 dxdy =  Q(x,y)dxdy

x_{i- Ѕ} y_{j- Ѕ} x_{i- Ѕ} y_{j- Ѕ}

Отсюда:

y_j+Ѕ x_i+Ѕ

(Ex(xi+Ѕ,y) - Ex(xi-Ѕ,y) )dx + (Ey(x,yj+Ѕ) - Ey(x,yj-Ѕ))dy=

y_j-Ѕ x_i-Ѕ

x_{i+ Ѕ} y_{j+ Ѕ}

=  Q(x,y)dxdy

11. _Ѕ y_{j- Ѕ}

Здесь:

E_x(x,y) = - d(x,y)

dx (*)

E_y(x,y) = - d(x,y)

dy

x у-компоненты вектора напряженности электрического поля Е.

Предположим при

y_j-Ѕ < y < y_{j- Ѕ} E_x(x_{i + Ѕ},y_j) = E_{i+ Ѕ ,j} = const

y_j-Ѕ < y < y_{j- Ѕ} Ex(x_{i - Ѕ} ,y_j) = E_{i- Ѕ ,j} = const (**)

x_i-Ѕ < x < x_{i+ Ѕ} Ey(x_i, y_{j + Ѕ}) = E_{i,j+ Ѕ} = const

x_i-Ѕ < x < x_{i+ Ѕ} Ey(x_i, y_{j -Ѕ} ) = E_{i,j - Ѕ} = const

x_{i- Ѕ} < x < x_{i+ Ѕ}

y_{j- Ѕ} < y < y_{j+ Ѕ} - Q(x,y) = Q_ij = const

Тогда

(E_x)_{i+ Ѕ ,j} - (E_x)_{i -Ѕ ,j} r^*_j + (E_y)_{ij+ Ѕ} - (E_y)_{ij- Ѕ} h^*_i = Q_ijh^*_i r^*_j

где h^*_i = h_i - h_i+1 , r^*_j = r_j - r_j+1

2 2

Теперь Е_{i+ Ѕ ,j} выражаем через значение (x,y) в узлах сетки:

x_i+1

x(x,y_j)dx = - _i+1,j - _ij

x_i

из (**) при y=y_j:

(E_x)_{i+ Ѕ ,j} = - _i+1j - _ij

h_i+1

Анологично :

(E_y)_{i,j+ Ѕ}= - _ij+1 - _ij