Нерегулярные четырехполюсники или длинные линии
В дальнейшем изложении речь будет идти только о пассивных 2х2-полюсниках.
Различают 2х2-полюсники еще и по следующему признаку:
если четырехполюсник подчиняется принципу обратимости (или взаимности), его называют обратимым (или взаимным); в противном случае — необратимым (или невзаимным). Напомним, что подчинение принципу взаимности означает следующее: ток I между накоротко замкнутыми правыми зажимами 2х2-полюсника, вызванный действием напряжения Е, приложенного к его левым зажимам, равен току I', который протекал бы между накоротко замкнутыми левыми зажимами, если бы напряжение Е было приложено к правым зажимам. Обратимым (взаимным) является, в частности, любой 2х2-полюсник, составленный из элементов с положительными сопротивлениями, индуктивностями и емкостями. Пассивность 2х2-полюсника не равнозначна его обратимости; пассивный 2х2-полюсник может быть и необратимым (например, гиратор, ферритовый вентиль или циркулятор).
Симметричным называют 2х2-полюсник, одинаково пропускающий сигналы в двух противоположных направлениях (слева направо и справа налево). Если такой 2Х2-полюсник выключить из цепи, повернуть на 180° относительно поперечной (вертикальной) оси и включить снова в цепь, то напряжения и токи в последней останутся такими же, как и до переключения. Симметричный 2х2-полюсник является одновременно и обратимым, однако обратимый 2х2-полюсник может быть как симметричным, так и несимметричным; 2х2-полюсник называют структурно-симметричным относительно поперечной оси, если его левая и правая части зеркально отображают одна другую. Заметим, что 2х2-полюсни-ки, структурно-симметричные относительно поперечной оси, являются всегда симметричными и по передаче, однако обратное заключение будет неверным.
Важным признаком 2х2-полюсникр является другой вид структурной симметрии — относительно продольной (горизонтальной) оси. По этому признаку 2х2-полюсники делят на уравновешенные и неуравновешенные. Уравновешенным называют 2Х2 полюсник, структурно-симметричный относительно продольной оси, т. е. такой, у которого верхние и нижние части зеркально отображают одна другую. Например, уравновешенным 2х2-полюс-ником является двухпроводная линия, у которой оба провода одинаковы. Неуравновешенным называют 2х2-полюсник, структурно-несимметричный относительно продольной оси. Антиметричным называют 2х2-полюсник, у которого произведение сопротивления холостого хода при прямой (обратной) передаче и сопротивления короткого замыкания при обратной (прямой) передаче постоянно, не зависит от частоты. Линейным называют 2Х2-полюсник, у которого токи и напряжения на входе и выходе связаны линейными зависимостями. Будем рассматривать только линейные 2Х2-полюсники. Реактивным называют 2х2-полюсник, лишенный диссипативных потерь. Такая идеализация во многих случаях допустима и существенно облегчает анализ и синтез устройств.
2.5.Основные соотношения
Направления токов и напряжений в четырехполюснике, принятые за положительные
Рис. 2.5
Принятые за положительные направления отсчета токов и напряжений на полюсах 2х2-полюсника показаны на рис. 2.5. Поскольку рассматриваются линейные 2х2-полюсники, то комплексные действующие значения токов и напряжений на полюсах I1 , I2 , U1 , U2 связаны между собой линейными зависимостями. Получили распространение следующие виды записи этих зависимостей:
, (2.3)
, (2.4)
, (2.5)
, (2.6)
, (2.7)
, (2.8)
где [z] — матрица сопротивлений;
[у] — матрица проводимостей;
[a] — матрица передачи в прямом направлении (слева направо);
[ft] — матрица передачи в обратном направлении (справа налево).
Матрицы [h] и [g] называют гибридными матрицами 2х2-полюсника.
Таким образом, получено шесть форм уравнений и шесть систем параметров 2х2-полюсника. Чтобы охарактеризовать 2х2-по-люсник и рассчитать передачу энергии через него в любом из двух направлений (слева направо и справа налево), достаточно было бы иметь одну из указанных систем. Тем не менее наличие нескольких систем параметров оказывается полезным по следующим причинам: 1) есть такие 2Х2-полюсники, для которых некоторые из описанных систем параметров не существуют (система параметров считается несуществующей, если хотя бы один из ее параметров равен бесконечности); 2) в зависимости от структуры заданного 2х2-полюсника значения его параметров отыскиваются проще для определенной системы параметров); 3) часто сложная цепь, составленная путем соединения нескольких 2х2-полюсников, рассчитывается проще, если на одном этапе расчета пользоваться одной системой параметров, а на следующем — другой. Параметры каждой из шести систем можно выразить через параметры остальных. В табл. 2.1 дана сводка формул, выражающих указанные связи.
Таблица 2.1
Связи между матрицами
В таблице z, y, h, g, a, b — определители соответствующих матриц. Эти определители выражают через элементы матриц:
, (2.9)
, (2.10)
, (2.11)
, (2.12)
, (2.13)
, (2.14)
Заметим, что в каждой из описанных матриц элементы не связаны между собой. Однако, если 2х2-полюсник обратимый (взаимный), между элементами каждой матрицы существует по одной определенной связи
(2.15)
а если 2х2-полюсник симметричный, добавляют еще по одной
(2.16)
Таким образом, 2х2-полюсник в общем случае характеризуется четырьмя, обратимый 2х2-полюсник — тремя, а симметричный 2Х2-полюсник — двумя независимыми параметрами.
2.6.Соединения четырехполюсников
В ряде случаев сложный 2х2-полюсник можно представить в виде соединения более простых структур.
Рассмотрим основные виды соединении 2х2-полюсников (рис. 2.6).
При последовательном этажном соединении имеет место зависимость
, (2.17)
т. е. матрица [z] последовательного соединения 2х2-полюсников равна сумме матриц [z] составляющих 2Х2-полюсников. При параллельном соединении 2Х2-полюсников имеем
, (2.18)
Схемы соединений четырехполюсников
а — последовательное; б — параллельное;
в — последовательно-параллельное; г — параллельно-последовательное;
д — каскадное
Рис. 2.6.:
т. е. матрица [у] параллельного соединения 2х2-полюсников равна сумме матриц [у] составляющих 2х2-полюсников. При последовательно-параллельном и параллельно-последовательном соединении имеем
, (2.19)
, (2.20)
т. е в этих соединениях суммируются соответственно матрицы [h] и [g].
Каскадное соединение 2Х2-полюсников
, (2.21)
равно произведению матриц [а] составляющих 2х2-полюсников; при этом матрицы должны записываться в порядке следования 2х2-полюсников в цепочке.
При выводе (2.17) … (2.21) предполагаем, что токи, входящие во все четырехполюсники, участвующие в соединениях, удовлетворяют условию попарного равенства и противонаправленности; такое соединение четырехполюсников называют регулярным.
В действительности же указанное условие не всегда выполняется; тогда соединение 2х2-полюсников становится соединением 4Х 1-полюсников, которые подчиняются иным закономерностям. Поэтому, прежде чем применять теорию 2х2-по-люсников к тому или иному их соединению, необходимо убедиться, что это соединение является регулярным, т. е. токи в верхнем и нижнем полюсах каждого составляющего четырехполюсника равны и противонаправленны.
К доказательству леммы о токах четырехполюсника
Рис. 2.7
При этом достаточно, чтобы это выполнялось лишь для одного конца каждого из составляющих четырехполюсников, так как справедлива следующая лемма: если токи в верхнем и нижнем полюсах на одном конце четырехполюсника равны и противонаправленны (рис. 2.7), то будут равны и противонаправленны также токи на другом конце четырехполюсника, т. е. равенства I1=I01, I2=I02 вытекают одно из другого. Доказательство этой леммы следует из обобщенного закона Кирхгофа: сумма токов, пронизывающих произвольную замкнутую кривую или поверхность, охватывающую часть электрической цепи, равна нулю; при этом входящие токи следует брать с одним знаком, а выходящие — с противоположным. На практике часто можно не проверять попарное равенство токов, если известно, что соответствующие соединения регулярны. К ним относятся следующие соединения:
Соединения двух трехполюсных четырехполюсников (рис. 2.8, а, б, в) (четырехполюсник называют трехполюсным, если его нижние зажимы соединены накоротко, как показано на рис. 2.5). Все другие соединения двух трехполюсных четырехполюсников, хотя формально и нерегулярные, также могут быть приведены к виду регулярных.
Регулярные соединения четырехполюсников
Рис. 2.7
Трехполюсный четырехполюсник
Рис. 2.8
2) Параллельное соединение n трехполюсных либо уравновешенных (симметричных относительно продольной оси) четырехполюсников (рис. 2.4,г).
3) Любое соединение разрывного четырехполюсника с любым другим (четырехполюсник называют разрывным, если между его входом и выходом нет ни электрической, ни гальванической связи; примером может служить двухобмоточный трансформатор без емкостной связи между обмотками).
4) Каскадное соединение любых четырехполюсников, если вся система в целом представляет собой 2х2-полюсник.
Необходимо указать, что при скрещивании (перемене местами) зажимов на входе либо на выходе 2х2-полюсника меняются знаки всех параметров, имеющих смысл передаточной функции, а именно параметров z12 , z21 , y12 , y21 , h12 , h21 , g12 , g21 , a11 , a12 , a21 , a22 .
2.7.Однородная длинная линия
Линия передачи, в которой распространяется Т-волна, описывается дифференциальными уравнениями
dU / dx = -Zп * I; dI / dx = -Yп * U, (2.22)
где U, I — комплексные действующие значения напряжения и тока в сечении линии, расположенном на расстоянии х от ее начала, В, А;
— погонные комплексные сопротивления и проводимости, Ом, Сим;
LП, CП, RП, GП — погонные индуктивность, емкость, сопротивление и проводимость линии, Гн, Ф, Ом, Сим.
Решение уравнений (2.22) имеет вид
, (2.23)
где А и В — произвольные постоянные;
— волновое сопротивление, Ом;
у — постоянная передачи,
причем
. (2.24)
С учетом граничных условий из (2.23) имеем
, (2.25)
где U1 , I1 , U2 , I2 — напряжения и токи в начале и конце линии, В, А;
l — длина линии, м.
Таким образом, в режиме 2х2-полюсника матрица передачи отрезка линии
. (2.26)
Для линии без диссипативных потерь (RП=0, GП=0)
; ,
где —электрическая длина линии, м;
— длина волны в линии, м,
откуда
. (2.27)
Линии передачи без потерь, в которых распространяется только Т-волна, обладают специфическим свойством - скорость распространения волны в линии постоянна, а определяется она выражением
,
где с — скорость света в вакууме, м/с;
— относительная диэлектрическая постоянная материала, которым заполнена линия.
Таким образом,
,
т. е. погонные параметры рассматриваемых линий между собой жестко связаны. Например, при сближении проводов линии погонная емкость СП увеличивается, а погонная индуктивность LП уменьшается так, что произведение LП*СП остается неизменным:
,
где L0 — собственная индуктивность одного провода на единицу длины (под собственной индуктивностью провода понимают его индуктивность в случае, когда обратный провод и другие внешние объекты отодвинуты на достаточно большое расстояние), Гн;
М — взаимная индуктивность между обоими проводами на единицу их длины, Гн/м;
k=M/L0 — коэффициент магнитной связи между проводами линии ().
Согласованность изменения СП и k, которая обеспечивается постоянством скорости света, обусловливает сохранение Т-волны при вариациях расстояния между проводами (если это расстояние не превосходит определенных пределов, связанных с диапазоном частот).
2.8.Замыкание полюсов отрезка линии по диагонали
Два варианта замыкания полюсов линии по диагонали показаны на рис. 2.9, а, б; они соответствуют горизонтальному и вертикальному положениям отрезка линии. Отрезок провода, осуществляющий замыкание, должен быть предельно коротким; с этой целью на практике линии свертывают в кольцо (рис. 2.10, а, б) или наматывают на тороид (рис. 2.10, в).
Схема замыкания по диагонали полюсов линии
а) – горизонтальной; б) - вертикальной
Рис. 2.9
Варианты реализации схем
а, б) – кольцевой; в) – тороидальной
Рис. 2.10
К замене НВЛ "полным четырехполюсником"
а) – в схеме 2.9, а; б) – в схеме 2.9, б
Рис 2.11
Замыкание полюсов линии по диагонали реализует 2Х2-полюсное устройство, содержащее НВЛ во внутренней цепи, что видно из рассмотрения токов на рис. 2.9, а, б. Токи в полюсах входа и выхода устройства попарно равны и противонаправленны, в то время как внутренняя часть устройства—отрезок линии является НВЛ (все токи в полюсах линии различные). Замещаем НВЛ полным четырехугольником, включенным так же, как ранее включалась НВЛ (рис. 2.11, а, б). После топологических преобразований оба устройства (рис. 2.11) можно привести к одному и тому же П-образному 2Х2-полюснику (рис. 2.12); его а-матрица
, (2.28)
где проводимости y1, y2, y3 показаны на рис. 2.13.
Схемы рис. 2.11, а, б, преобразованные к виду П-образного 2х2-полюсника
Рис. 2.12
Схема симметричного П-образного 2х2-полюсника канонического вида
Рис. 2.13
Сопоставляя рис. 2.12 и 2.13, находим
, (2.29)
. (2.30)
Подставляя (2.29), (2.30) в (2.28), получаем а-матрицу устройства, в котором внутренняя НВЛ образуется замыканием двух полюсов по диагонали
, (2.31)
.
Зависимость рабочего затухания от частоты, найденная в соответствии с (2.13), приведена на рис. 2.8; коэффициент магнитной связи между проводами НВЛ k = 0,9. Отметим, что полученная зависимость характерна для фильтра верхних частот. Можно показать, что рассматриваемое устройство по сравнению-с отрезком регулярно включенной линии той же длины дает фазовый сдвиг я и на всех частотах. Таким образом, областью применения рассматриваемого устройства является частотная селекция и (или) инверсия фазы.
Частотная характеристика рабочего затухания схем рис. 2.9, а,б
Идеализированная схема
рис. 2.9, а, б
Рис. 2.15
Рис. 2.14
Существенно, что при увеличения k область пропускания расширяется в сторону низких частот (т. е. в сторону =0). Таким образом, увеличение магнитной связи между проводами НВЛ обеспечивает уменьшение его длины (по сравнению с наиболее длинной волной полосы пропускания); этот результат иллюстрируется данными табл. 2.2.
Таблица 2.2
Зависимость длины устройства рис. 2.9, а, б от k
K |
0,85 | 0,90 | 0,95 | 0,99 |
|
0,054 | 0,035 | 0,011 | 0,0064 |
Из таблицы видно, что увеличение коэффициента магнитной связи от 0,85 до 0,99 уменьшает продольные габариты рассматриваемого устройства в 9 раз. В предельном случае