Программная реализация модального управления для линейных стационарных систем
Курсовая работа:
«Программная реализация модального управления для линейных стационарных систем»
Постановка задачи:
1. Для объекта управления с математическим описанием
, (1)
-
задано,
где
- n-мерный
вектор состояния,
,
-
начальный
вектор состояния,
-
скалярное
управление,
-
матрица
действительных
коэффициентов,
-
матрица действительных
коэффициентов,
найти управление в функции переменных состояния объекта, т.е.
,
(2)
где
-
матрица обратной
связи, такое,
чтобы замкнутая
система была
устойчивой.
2. Корни характеристического уравнения замкнутой системы
(3)
должны выбираться по усмотрению (произвольно) с условием устойчивости системы (3).
Задание:
1. Разработать алгоритм решения поставленной задачи.
2. Разработать программу решения поставленной задачи с интерактивным экранным интерфейсом в системах Borland Pascal, Turbo Vision, Delphi - по выбору.
3. Разработать программу решения систем дифференциальных уравнений (1) и (3) с интерактивным экранным интерфейсом.
4. Разработать программу графического построения решений систем (1) и (3) с интерактивным экранным интерфейсом.
Введение
Наряду с общими методами синтеза оптимальных законов управления для стационарных объектов всё большее применение находят методы, основанные на решении задачи о размещении корней характеристического уравнения замкнутой системы в желаемое положение. Этого можно добиться надлежащим выбором матрицы обратной связи по состоянию. Решение указанной задачи является предметом теории модального управления (термин связан с тем, что корням характеристического уравнения соответствуют составляющие свободного движения, называемые модами).
Алгоритм модального управления.
Соглашения:
Задаваемый объект управления математически описывается уравнением
, (1)где
и
- матрицы
действительных
коэффициентов,
- n-мерный
вектор состояния-
скалярное
управление,
- порядок
системы (1).Обратная связь по состоянию имеет вид
,
(2)где
-
матрица обратной
связи.Система с введенной обратной связью описывается уравнением
(3)Характеристическое уравнение системы (1) имеет вид
(4)Характеристическое уравнение системы (3) с задаваемыми (желаемыми) корнями
имеет
вид
(5)Алгоритм:
1. Для исходной системы (1) составляем матрицу управляемости
2. Обращаем матрицу
,
т.е. вычисляем
.
Если
не существует
(т.е. матрица
- вырожденная),
то прекращаем
вычисления:
полное управление
корнями
характеристического
уравнения (5)
не возможно.3. Вычисляем матрицу
4. Составляем матрицу
5. Вычисляем матрицу, обратную матрице
,
т.е.
6. Вычисляем матрицу
- матрицу
в канонической
форме фазовой
переменной:
где
-
коэффициенты
характеристического
уравнения (4).Матрица
в канонической
форме имеет
вид
7. Составляем вектор
, элементам
которого являются
коэффициенты
характеристического
уравнения (4),
т.е.
,
,
где
- элементы матрицы
.8. Находим коэффициенты характеристического уравнения (5) (см. пояснения) и составляем из них вектор
.
9. Вычисляем вектор
.
- искомая
матрица обратной
связи системы
(3), но она вычислена
для системы,
матрицы которой
заданы в канонической
форме фазовой
переменной
(
и
).10. Для исходной системы (3) матрица обратной связи получается по формуле
Матрица
- искомая матрица
обратной связи.Пояснения к алгоритму:
В данной работе рассматривается случай, когда управление единственно и информация о переменных состояния полная. Задача модального управления тогда наиболее просто решается, если уравнения объекта заданы в канонической форме фазовой переменной.
Так как управление выбрано в виде линейной функции переменных состояния
,
где
является матрицей
строкой
.
В таком случае
уравнение
замкнутой
системы приобретает
вид
.
Здесь
Характеристическое уравнение такой замкнутой системы будет следующим
Поскольку каждый коэффициент матрицы обратной связи
входит только
в один коэффициент
характеристического
уравнения, то
очевидно, что
выбором коэффициентов
можно получить
любые коэффициенты
характеристического
уравнения, а
значит и любое
расположение
корней.Если же желаемое характеристическое уравнение имеет вид
,то коэффициенты матрицы обратной связи вычисляются с помощью соотношений:
Если при наличии одного управления нормальные уравнения объекта заданы не в канонической форме (что наиболее вероятно), то, в соответствии с пунктами №1-6 алгоритма, от исходной формы с помощью преобразования
или
нужно
перейти к уравнению
в указанной
канонической
форме.Управление возможно, если выполняется условие полной управляемости (ранг матрицы управляемости M должен быть равен n). В алгоритме об управляемости системы судится по существованию матрицы
:
если она существует,
то ранг матрицы
равен ее порядку
(n).
Для объекта
управления
с единственным
управлением
матрица
оказывается
также единственной.Для нахождения коэффициентов
характеристического
уравнения (5),
в работе используется
соотношения
между корнями
и коэффициентами
линейного
алгебраического
уравнения
степени n:
,
(k
= 1, 2, ... , n)где многочлены
-
элементарные
симметрические
функции, определяемые
следующим
образом:
,
,
,...
где Sk - сумма всех
произведений,
каждое из которых
содержит k
сомножителей
xj
с
несовпадающими
коэффициентами.Программная реализация алгоритма.
Текст программной реализации приведен в ПРИЛОЖЕНИИ №1. Вот несколько кратких пояснений.
Программа написана на языке Object Pascal при помощи средств Delphi 2.0, и состоит из следующих основных файлов:
KursovayaWork.dpr
MainUnit.pas
SubUnit.pas
Matrix.pas
Operates.pas
HelpUnit.pas
OptsUnit.pas
KursovayaWork.dpr - файл проекта, содержащий ссылки на все формы проекта и инициализирующий приложение.
В модуле MainUnit.pas находится описание главной формы приложения, а также сконцентрированы процедуры и функции, поддерживаюшие нужный интерфейс программы.
Модули SubUnit.pas и Operates.pas содержат процедуры и функции, составляющие смысловую часть программной реализации алгоритма, т.е. процедуры решения задачи модально управления, процедуры решения систем дифференциальных уравнений, процедуры отображения графиков решений систем и т.д. Там также находятся процедуры отображения результатов расчетов на экран.
В модуле Matrix.pas расположено описание класса TMatrix - основа матричных данных в программе.
Модули HelpUnit.pas и OptsUnit.pas носят в программе вспомогательный характер.
Для решения систем дифференциальных уравнений использован метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности с фиксированным шагом. Метод был позаимствован из пакета программ NumToolBox и адаптирован под новую модель матричных данных.
Обращение матриц производится методом исключения по главным диагональным элементам (метод Гаусса). Этот метод так же был позаимствован из NumToolBox и соответствующе адаптирован.
Пориложение.
program KursovayaWork;
uses
Forms,
MainUnit in 'MainUnit.pas' {Form_Main},
OptsUnit in 'OptsUnit.pas' {Form_Options},
SubUnit in 'SubUnit.pas',
Matrix in 'Matrix.pas',
Operates in 'Operates.pas',
HelpUnit in 'HelpUnit.pas' {Form_Help};
{$R *.RES}
begin
Application.Initialize;
Application.Title := 'Модальное управление';
Application.CreateForm(TForm_Main, Form_Main);
Application.CreateForm(TForm_Options, Form_Options);
Application.CreateForm(TForm_Help, Form_Help);
Application.Run;
end.
unit MainUnit;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,
ComCtrls, Tabnotbk, Menus, StdCtrls, Spin, ExtCtrls, Buttons, Grids,
OleCtrls, VCFImprs, GraphSvr, ChartFX {, ChartFX3};
type
TForm_Main = class(TForm)
BevelMain: TBevel;
TabbedNotebook_Main: TTabbedNotebook;
SpinEdit_Dim: TSpinEdit;
BitBtn_Close: TBitBtn;
BitBtn_Compute: TBitBtn;
StringGrid_Ap0: TStringGrid;
StringGrid_Anp0: TStringGrid;
StringGrid_Roots: TStringGrid;
StringGrid_Kpp0: TStringGrid;
StringGrid_Bp0: TStringGrid;
RadioGroup_RootsType: TRadioGroup;
Label_A1p0: TLabel;
Label_Ap0: TLabel;
Label_mBp0: TLabel;
Label_Roots: TLabel;
Label_Kpp0: TLabel;
BevelLine: TBevel;
Label_Dim: TLabel;
StringGrid_Ap1: TStringGrid;
StringGrid_Bp1: TStringGrid;
Label_Ap1: TLabel;
Label_Bp1: TLabel;
StringGrid_Kpp1: TStringGrid;
Label_Kpp1: TLabel;
StringGrid_InCond: TStringGrid;
Label_InCond: TLabel;
Label_U: TLabel;
Edit_U: TEdit;
BitBtn_Options: TBitBtn;
BitBtn_Help: TBitBtn;
StringGrid_ABKpp1: TStringGrid;
Label_ABKpp1: TLabel;
Edit_W: TEdit;
Label_w: TLabel;
RadioGroupChart: TRadioGroup;
ChartFX: TChartFX;
LabelW1: TLabel;
StringGrid_Solve1: TStringGrid;
StringGrid_Solve2: TStringGrid;
Label1: TLabel;
Label2: TLabel;
Label3: TLabel;
procedure BitBtn_CloseClick(Sender: TObject);
procedure BitBtn_OptionsClick(Sender: TObject);
procedure BitBtn_ComputeClick(Sender: TObject);
procedure FormCreate(Sender: TObject);
procedure SpinEdit_DimChange(Sender: TObject);
procedure StringGrid_RootsSetEditText(Sender: TObject; ACol,
ARow: Longint; const Value: string);
procedure RadioGroup_RootsTypeClick(Sender: TObject);
procedure TabbedNotebook_MainChange(Sender: TObject; NewTab: Integer;
var AllowChange: Boolean);
procedure StringGrid_SetEditText(Sender: TObject; ACol,
ARow: Longint; const Value: string);
procedure BitBtn_HelpClick(Sender: TObject);
procedure RadioGroupChartClick(Sender: TObject);
private
procedure FillFixedCellsInAllGrids;
procedure FillCellsInAllGrids;
public
procedure BindGrids;
procedure UnBindGrids;
end;
var
Form_Main: TForm_Main;
implementation
uses Matrix, SubUnit, OptsUnit, Operates, CFXOCX2, HelpUnit;
const
DefOptions = [goFixedVertLine, goFixedHorzLine,
goVertLine, goHorzLine,
goColSizing, goEditing,
goAlwaysShowEditor, goThumbTracking];
{$R *.DFM}
procedure TForm_Main.FillFixedCellsInAllGrids;
var
Order : TOrder;
i: byte;
Str: string;
begin
Order := SpinEdit_Dim.Value;
for i := 1 to Order do
begin
Str := IntToStr(i);
StringGrid_Ap0.Cells[0, i] := Str;
StringGrid_Ap0.Cells[i, 0] := Str;
StringGrid_Bp0.Cells[0, i] := Str;
StringGrid_ANp0.Cells[i, 0] := Str;
StringGrid_ANp0.Cells[0, i] := Str;
StringGrid_Roots.Cells[i, 0] := Str;
StringGrid_Kpp0.Cells[i, 0] := Str;
StringGrid_Ap1.Cells[0, i] := Str;
StringGrid_Ap1.Cells[i, 0] := Str;
StringGrid_Bp1.Cells[0, i] := Str;
StringGrid_ABKpp1.Cells[i, 0] := Str;
StringGrid_ABKpp1.Cells[0, i] := Str;
StringGrid_InCond.Cells[i, 0] := Str;
StringGrid_Kpp1.Cells[i, 0] := Str;
StringGrid_Solve1.Cells[i, 0] := 'X' + IntToStr(i);
StringGrid_Solve2.Cells[i, 0] := 'X' + IntToStr(i);
StringGrid_Solve1.Cells[0, 0] := 'Время';
StringGrid_Solve2.Cells[0, 0] := 'Время';
end;
end;
procedure TForm_Main.FillCellsInAllGrids;
var
Order : TOrder;
i, j : byte;
begin
Order := SpinEdit_Dim.Value;
for i := 1 to Order do
for j := 1 to Order do
begin
StringGrid_Ap0.Cells[j, i] := '0';
StringGrid_Ap0.Cells[i, i] := '1';
StringGrid_Bp0.Cells[1, i] := '0';
StringGrid_Roots.Cells[i, 1] := '-1';
StringGrid_Roots.Cells[i, 2] := '0';
StringGrid_Kpp0.Cells[i, 1] := '0';
StringGrid_Ap1.Cells[j, i] := '0';
StringGrid_Ap1.Cells[i, i] := '1';
StringGrid_Bp1.Cells[1, i] := '0';
StringGrid_ABKpp1.Cells[j, i] := '0';
StringGrid_ABKpp1.Cells[i, i] := '1';
StringGrid_InCond.Cells[i, 1] := '0';
StringGrid_Kpp1.Cells[i, 1] := '0';
end;
FillFixedCellsInAllGrids;
StringGrid_Roots.Cells[0, 1] := 'Re';
StringGrid_Roots.Cells[0, 2] := 'Im';
StringGrid_Bp1.Cells[1, 0] := '1';
StringGrid_Bp0.Cells[1, 0] := '1';
end;
procedure TForm_Main.BindGrids;
begin
CopyGrid(StringGrid_Ap1, StringGrid_Ap0);
CopyGrid(StringGrid_Bp1, StringGrid_Bp0);
CopyGrid(StringGrid_Kpp1, StringGrid_Kpp0);
StringGrid_Ap1.Options := DefOptions - [goEditing];
StringGrid_Bp1.Options := DefOptions - [goEditing];
StringGrid_Kpp1.Options := DefOptions - [goEditing];
end;
procedure TForm_Main.UnBindGrids;
begin
StringGrid_Ap1.Options := DefOptions;
StringGrid_Bp1.Options := DefOptions;
StringGrid_Kpp1.Options := DefOptions;
end;
procedure TForm_Main.BitBtn_CloseClick(Sender: TObject);
begin
Close;
end;
procedure TForm_Main.BitBtn_OptionsClick(Sender: TObject);
var
V0, V1, V2, V3: LongInt;
LS: TCheckBoxState;
begin
with Form_Options do
begin
V0 := SpinEdit0.Value;
V1 := SpinEdit1.Value;
V2 := SpinEdit2.Value;
V3 := SpinEdit3.Value;
LS := CheckBox_Link.State;
ShowModal;
if ModalResult = mrCancel then
begin
SpinEdit0.Value := V0;
SpinEdit1.Value := V1;
SpinEdit2.Value