Теория распределения информации

Министерство науки и высшего образования Республики Казахстан

Алматинский институт энергетики и связи

Кафедра Автоматической электросвязи

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: Теория распределения информации

ШИФР:

ГРУППА:

ВЫПОЛНИЛ:

ПРОВЕРИЛ:

Г. АЛМАТЫ, 1999 Г.

ЗАДАНИЕ 1.

1. Построить огибающую распределения вероятности занятия линии в пучке из V, на каждую из которых поступает интенсивность нагрузки а при условии, что:

а) N >> V; б) N V; в) N, V

2. Для каждого используемого распределения рассчитать среднее число занятых линий и их дисперсию.

Для расчета число линий в пучке определить из следующего выражения:

V= ;

целая часть полученного числа, где NN – номер варианта.

Средняя интенсивность нагрузки, поступающей на одну линию:

а = 0,2+0,01 * NN

Примечания:

• Для огибающей распределения привести таблицу в виде:

• В распределении Пуассона привести шесть – восемь составляющих, включая значение вероятности для i = (целая часть А)

• А = а * V

Решение:

Случайной называют такую величину, которая в результате эксперимента принимает какое то определенное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин, которые наперед предугадать невозможно. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретная случайная величина определяется распределением вероятностей, непрерывная случайная величина – функцией распределения основными характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия.

Определим исходные данные для расчета:

V=

a = 0.2 + 0.01  11 = 0.31 Эрл (средняя интенсивность нагрузки)

А = а  V = 0,31  11 = 3,41  4 Эрл (нагрузка)

а) Определим вероятности занятия линий в пучке из V = 11, при условии N >> V (N – число источников нагрузки).

Для этого используем распределение Эрланга, представляющее собой усеченное распределение Пуассона, в котором взяты первые V+1 значения и пронумерованы так, чтобы сумма вероятностей была равна единице.

Распределение Эрланга имеет вид:

P_i(V) = , ,

где P_i(V) – вероятность занятия любых i линий в пучке из V.

Для определения составляющих распределения Эрланга можно применить следующее реккурентное соотношение:

Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий соответственно равны:

где P_v – вероятность занятости всех линий в пучке из V.

Произведем расчет:

Р₀ =

Р₁ = Р₀  = 0,072 Р₂ = Р₁  = 0,144

Р₃ = Р₂  = 0,192 Р₄ = Р₃  = 0,192

Р₅= Р₄  = 0,153 Р₆ = Р₅  = 0,102

Р₇ = Р₆  = 0,058 Р₈ = Р₇  = 0,029

Р₉ = Р₈  = 0,012 Р₁₀ = Р₉  = 4,8  10^-3

Р₁₁ = Р₁₀ = 1,7  10^-3

M( i ) = 4  (1 - 1,7  10^-3) = 3,99

D( i ) = 3,99 – 4  1,7  10^-3  (11 – 3,99) = 3,94

Данные результаты вычислений сведем в таблицу 1:

Таблица 1

б) Определим вероятность занятия линий в пучке из V=11, при условии NV. Применим распределение Бернулли (биноминальное распределение), которое имеет вид:

где: P_i(V) – вероятность занятия любых i линий в пучке из V;

- число сочетаний из V по i (i = 0, V)

,

а – средняя интенсивность поступающей нагрузки на одну линию

V-линейного пучка от N источников.

Для вычисления вероятностей можно воспользоваться следующей рекурентной формулой:

Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий соответственно равны:

M( i ) = Va; D( i ) = V  a  (1-a)

Произведем расчет:

;

Р₁ = 16,810^-3

Р₂ = 16,810^-3

Р₃ = 16,810^-3

Р₄ = 16,810^-3

Р₅ = 16,810^-3

Р₆ = 16,810^-3

Р₇ = 16,810^-3

Р₈ = 16,810^-3

Р₉ = 16,810^-3

Р₁₀ = 16,810^-3

Р₁₁ = 16,810^-3

M( i ) = 11  0,31 = 3,41; D( i ) = 11  0,31  (1 – 0,31) = 2,35

Результаты вычислений сведем в таблицу 2:

Таблица 2

в) Определим вероятность занятия линий в пучке из V=11 , при условии N,V.

Используем распределение Пуассона, как вероятность занятия i линий в бесконечном пучке линий за промежуток времени t:

, ,

где:  - параметр потока, выз/час

t – средняя интенсивность нагрузки поступающей на пучок линий (А=t).

Легко показать, что:

,

Произведем расчет:

Р₀ =  е^-4 = 0,018 Р₁ = 0,018  = 0,036

Р₄ =  0,018 = 0,192 Р₆ = 0,018  = 0,102

Р₈ = 0,018  = 0,029 Р₁₀ = 0,018  = 0,0052

Р₁₂ = 0,018  = 0,0006

M( i ) = D( i ) = 4

Результаты вычислений сведем в таблицу 3:

Таблица 3

По данным таблиц 1, 2, 3 построим графики огибающей вероятности для трех случаев: а) N>>V, б) NV, в) N, V   ; рис. 1.

Задание 2.

На коммутационную систему поступает простейший поток вызовов с интенсивностью А.

1. Рассчитать вероятность поступления не менее к вызовов за промежуток времени  0, t^*:

Р_к(t^*), где t^* = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0

2. Построить функцию распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов:

F(t^*), t^* = 0; 0,1; 0,2; …

3. Рассчитать вероятность поступления не менее к вызовов за интервал времени  0, t^*:

P_ik(t^*), где t^* = 1

Примечание: 1. Для расчета значений A и V взять из задания 1.

2.Число вызовов к определить из выражения: к = V/2 - целая часть числа.

3. Для построения графика взять не менее пяти значений F(t^*). Результаты привести в виде таблицы:

4. Расчет P_ik(t^*) провести не менее чем для восьми членов суммы.

Решение:

Потоком вызовов называют последовательность однородных событий, поступающих через случайные интервалы времени. Поток вызовов может быть задан тремя эквивалентными способами:

1. Вероятностью поступления к вызовов за интервал времени 0,t.

2. Функцией распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов.

3. Вероятность поступления не менее к вызовов за интервал времени 0,t.

Свойства потоков: станционарность, ординарность и полное или частичное отсутствие последействия. Потоки классифицируются с точки зрения наличия или отсутствия этих свойств.

Основными характеристиками потоков вызовов являются: интенсивность  и параметр .

Простейшим потоком называется ординарный стационарный поток без последействия.

1. Рассчитаем вероятность поступления не менее к вызовов за интервал времени 0,t.

,

где: к = 0, 1, …;

t^* = t /t ; где t – средняя длительность обслуживания вызова.

Определим данные для расчетов:

К = 11/2 = 6; А = 4; V = 11;

Производим расчеты для t^* = 0,5 с.

P₂(0,5) = 0,13 P₃(0,5) = 0,18 P₄(0,5) = 0,09

P₅(0,5) = 0,03 P₆(0,5) = 0,012

Производим расчеты для t^* = 1,0 с.

P₂(1) = 0,14 P₃(1) = 0,19 P₄(1) = 0,19

P₅(1) = 0,15 P₆(1) = 0,1

Производим расчеты для t^* = 1,5 с.

P₂(1,5) = 0,044 P₃(1,5) = 0,089 P₄(1,5) = 0,13

P₅(1,5) = 0,16 P₆(1,5) = 0,16

Производим расчеты для t^* = 2 с.

P₂(2) = 0,01 P₃(2) = 0,028 P₄(2) = 0,057

P₅(2) = 0,91 P₆(2) = 0,122

2. Рассчитаем функцию распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов:

где Z_k – промежуток времени между ( к-1 )-м и к-м вызовами.

F(0) = 1 – e^-40 = 0 F(0,1) = 1 – e^-40,1 = 0,32 F(0,2) = 1 – e^-40,2 = 0,55

F(0,3) = 0,69 F(0,4) = 0,79 F(0,5) = 0,86

F(0,6) = 0,9 F(0,7) = 0,93

Результаты вычислений занесем в таблицу 4:

Таблица 4

3. Рассчитаем вероятность поступления не менее к вызовов за промежуток времени 0, t^*:

, при t^*=1.

P_66(1) = 1 – 0,84 = 0,16 P_106(1) = 1 – 0,005 = 0,995

P_76(1) = 1 – 0,05 = 0,95 P_116(1) = 1 – 0,001 = 0,999

P_86(1) = 1 – 0,02 = 0,98 P_126(1) = 1 – 0,0006 = 0,9994

P_96(1) = 1 – 0,013 = 0,987 P_136(1) = 1 – 0,0001 = 0,9999

Интенсивность простейшего потока вызовов  численно равна параметру , а при t = t =1:  =  = А = 4.

Задание 3.

1. Рассчитать интенсивность поступающей нагрузки на входы I ГИ для АТСКУ – А _{вх. I ГИ}.

2. Рассчитать средние интенсивности удельных абонентских нагрузок для абонентских лини народно-хозяйственного и квартирного секторов : А_НХ и А_КВ , а так же среднюю удельную интенсивность нагрузки на абонентскую линию АТС - А_{ИСХ .}

3. Пересчитать интенсивность нагрузки на выход ступени I ГИ.

Исходные данные, таблица 5:

Таблица 5

Решение:

1. Основными параметрами интенсивности нагрузки являются:

N_i – число источников нагрузки i-й категории.

C_i – среднее число вызовов, поступающих от одного источника i-й категории в ЧНН (час наибольшей нагрузки).

t_i – средняя длительность одного занятия для вызова от источника i-й категории.

Различают следующие категории источников нагрузки: абонентские линии народнохозяйственного сектора (НХ), абонентские линии квартирного сектора индивидуального пользования (кв.и.), абонентские линии квартирного сектора коллективного сектора (кв.к.), таксофоны (т). Для расчета используем две категории: абонентские линии народнохозяйственного сектора (НХ) и абонентские линии квартирного сектора (кв).

Интенсивность поступающей нагрузки:

,

Средняя длительность одного занятия зависит от типа системы коммутации и определяется выражением:

где: Р_р – доля вызовов из общего числа, для которых соединения закончились разговором; Р_з – доля вызовов из общего числа, для которых соединения не закончились разговором из-за занятости линии вызываемого абонента; Р_но – то же из за неответа вызываемого абонента; Р_ош – то же из-за ошибок в наборе номера; Р_техн - то же из-за технических неисправностей в узлах коммутации (при расчетах Р_техн = 0); t_рi , t_з , t_{но­­­­­} , t_ош , t_техн – средние длительности занятий соответствующие этим случаям. Их можно определить из следующих выражений:

t_Pi = t_y+ t_пв+ T_i+ t₀

t_з = t_y+ t_сз+ t₀

t_но = t_y+ t_пвн+ t₀

t_ош = 18 с.

где: t_у – средняя длительность установления соединения; t_пв и t_пвн средняя длительность слушания сигнала «КПВ» (t_пв=7 с. в случае разговора между абонентами; t_пвн=30 с. в случае неответа вызываемого абонента);

T_i – продолжительность разговора для вызова i-й категории;

t_о – продолжительность отбоя;

t_сз – продолжительность слушания сигнала “Занято”

t_у = 0,5 t_МАВИ + _МРИ + t_МРИ + t_СО + n  t_{Н +} _IГИ + t_МIГИ + _МСD + t_МСD

где _j – время ожидания обслуживания маркером j-й ступени; _j = 0,1 с.

t_МАВИ – время установления соединения маркером АВ на ступени АИ при исходящей связи; t_МАВИ = 0,3 с.

t_МРИ - время установления соединения маркером ступени РИ; t_МРИ = 0,2 с.

t_МIГИ - время установления соединения маркером ступени IГИ; t_МIГИ = 0,65 с.

t_МСD - время установления соединения маркером CD; t_МСD = 1 С.

t_СО – средняя длительность слушания сигнала «Ответ станции»; t_СО = 3 с.

t_Н – средняя длительность набора одного знака номера; t_Н = 1,5 с.

n – значность номера.

Значения t_о и t_сз для АТСКУ следующие: t_сз = 0,6 с., t_о = 0.

Р_Р = 0,6; Р_з = 0,2; Р_но = 0,15; Р_ош = 0,05;

t_у = 0,5 * 0,3 + 0,1 + 0,2 + 3 + 5 * 1,5 + 0,1 + 0,65 + 0,1 + 1 = 12,8 с.

t_рнх = 12.8 + 7 + 100 + 0.6 = 120,4 с.

t_ркв = 12,8 + 7 + 130 + 0,6 = 150,4 с.

Р_Р* t_рнх = 0,6 * 120,4 = 72,24

Р_Р* t_ркв = 0,6 * 150,4 = 90,24

t_з = t_у+ t_сз+ t_о = 12,8+0+0,6 = 13,4 с.

Р_з* t_з = 0,2*13,4 = 2,68

t_но = t_у+ t_пвн+ t_о = 12,8+30+0,6 = 43,4 с.

Р_но* t_но =0,15*43,4 = 6,51

Р_ош* t_ош = 0,05*18 = 0,9

t_нх = 72,24+2,68+6,51+0,9+0 = 82,33 с.

t_кв = 90,24+2,68+6,51+0,9+0 = 100,33 с.

А_{ВХIГИНХ} = = 434,5 Эрл

А_{ВХIГИКВ} = = 167,2 Эрл

А_ВХIГИ = 434,5 + 167,2 = 601,7 Эрл

2. Рассчитаем средние интенсивности удельных абонентских нагрузок для абонентских линий народнохозяйственного и квартирного секторов:

, Эрл

, Эрл

Средняя удельная интенсивность нагрузки на абонентскую линию АТС:

, Эрл

А_НХ = = 0,087 Эрл А_КВ = = 0,042 Эрл

А_ИСХ = = 0,07 Эрл

3. Пересчитаем нагрузку со входа ступени I ГИ на ее выход:

,

где t_вхIГИ и t_выхIГИ – соответственно среднее время занятия входа ступени I ГИ и среднее время занятия выхода ступени I ГИ:

t_выхIГИ = t_вхIГИ - t,

где t – разница между временами занятия на входе и выходе ступени I ГИ. Для АТСКУ:

t = 0,5 t_МАВИ + _МРИ + t_МРИ + t_СО + n  t_{Н +} _МIГИ + t_МIГИ

t_ВХIГИ = А_ВХIГИ / N_нх  С_нх + N_кв  С_кв

t = 0,5 * 0,3 + 0,1 + 0,2 + 3 + 5 * 1,5 + 0,1 + 0,65 = 11,7 с.

t_ВХIГИ = = 86,6 с.

t_ВЫХIГИ = t_ВХIГИ - t = 86,6 – 11,7 = 74,9 с.

А_ВЫХIГИ = 74,9/86,6 * 601,7 = 520,4