тому или другому пункту какую-то премию за перевозку. Также надо отметить, что суммарная псевдостоимость любого допустимого плана перевозок при заданных платежах (_i и _j ) одна и та же и от плана к плану не меняется.

До сих пор мы никак не связывали платежи (_i и _j) и псевдостоимости č_ij с истинными стоимостями перевозок C _ij. Теперь мы установим между ними связь. Предположим, что план x_ij невырожденный (число базисных клеток в таблице перевозок ровно m + n -1). Для всех этих клеток x_ij >0. Определим платежи (_i и _j) так, чтобы во всех базисных клетках псевдостоимости были ровны стоимостям:

č_ij = _i + _j = с_ij , при x_ij >0.

Что касается свободных клеток (где x_ij = 0), то в них соотношение между псевдостоимостями и стоимостями может быть, какое угодно.

Оказывается соотношение между псевдостоимостями и стоимостями в свободных клетках показывает, является ли план оптимальным или же он может быть улучшен. Существует специальная теорема: Если для всех базисных клеток плана x_ij > 0,

_i + _j = č_ij= с_ij ,

а для всех свободных клеток x_ij =0,

_i + _j = č_ij≤ с_ij ,

то план является оптимальным и никакими способами улучшен быть не может. Нетрудно показать, что это теорема справедлива также для вырожденного плана, и некоторые из базисных переменных равны нулю. План обладающий свойством :

č_ij= с_ij (для всех базисных клеток ) (1)

č_ij≤ с_ij ( для всех свободных клеток ) (2)

называется потенциальным планом, а соответствующие ему платежи (_i и _j ) — потенциалами пунктов A_i и B_j ( i=1,...,m ; j=1,...,n ). Пользуясь этой терминологией вышеупомянутую теорему можно сформулировать так:

Всякий потенциальный план является оптимальным.

Итак, для решения транспортной задачи нам нужно одно - построить потенциальный план. Оказывается его можно построить методом последовательных приближений, задаваясь сначала какой-то произвольной системой платежей, удовлетворяющей условию (1). При этом в каждой базисной клетке получиться сумма платежей, равная стоимости перевозок в данной клетке; затем, улучшая план следует одновременно менять систему платежей. Так, что они приближаются к потенциалам. При улучшении плана нам помогает следующее свойство платежей и псевдостоимостей: какова бы ни была система платежей (_i и _j ) удовлетворяющая условию (1), для каждой свободной клетки цена цикла пересчёта равна разности между стоимостью и псевдостоимостью в данной клетке : _i,j= с_i,j - č_i,j.

Таким образом, при пользовании методом потенциалов для решения транспортной задачи отпадает наиболее трудоёмкий элемент распределительного метода: поиски циклов с отрицательной ценой.

Процедура построения потенциального (оптимального) плана состоит в следующем.

В качестве первого приближения к оптимальному плану берётся любой допустимый план (например, построенный способом минимальной стоимости по строке). В этом плане m + n - 1 базисных клеток, где m - число строк, n - число столбцов транспортной таблицы. Для этого плана можно определить платежи (_i и _j ), так, чтобы в каждой базисной клетке выполнялось условие :

_i + _j = с_ij (3)

Уравнений (3) всего m + n - 1, а число неизвестных равно m + n. Следовательно, одну из этих неизвестных можно задать произвольно (например, равной нулю). После этого из m + n - 1 уравнений (3) можно найти остальные платежи _i, _j, а по ним вычислить псевдостоимости, č_i,j= _i + _j для каждой свободной клетки.

Таблица №5

ПН ПО	В1	В2	В3	В4	В5	i
А1	10 č = 7	8 č = 6	5 42	6 6	9 č = 6	1= 0
А2	6 4	7 č = 5	8 č = 4	6 č = 5	5 26	2= -1
А3	8 č = 8	7 27	10 č = 6	8 č = 7	7 0	3= 1
А4	7 14	5 č = 6	4 č = 5	6 6	8 č = 6	4= 0
j	1= 7	2= 6	3= 5	4= 6	5= 6

₄ = 0, 

₄ = 6, так как ₄ + ₄ = С₄₄ = 6, 

₁= 0, так как ₁ + ₄ = С₁₄ = 6, 

₃ = 5, так как ₁ + ₃ = С₁₃ = 5, 

₁ = 7, так как ₄ + ₁ = С₄₁ = 7, 

₂= -1, так как ₂ + ₁ = С₂₁ = 6, 

₅ = 6, так как ₂ + ₅ = С₂₅ = 5, 

₃= 1, так как ₃ + ₅ = С₃₅ = 7, 

₂ = 6, так как ₃ + ₂ = С₂₅ = 7.

Если оказалось, что все эти псевдостоимости не превосходят стоимостей

č_ij  с_ij , 

то план потенциален и, значит, оптимален. Если же хотя бы в одной свободной клетке псевдостоимость больше стоимости (как в нашем примере), то план не является оптимальным и может быть улучшен переносом перевозок по циклу, соответствующему данной свободной клетке. Цена этого цикла ровна разности между стоимостью и псевдостоимостью в этой свободной клетке.

В таблице № 5 мы получили в двух клетках č_ij  с_ij , теперь можно построить цикл в любой из этих двух клеток. Выгоднее всего строить цикл в той клетке, в которой разность č_ij  с_ij максимальна. В нашем случае в обоих клетках разность одинакова (равна 1), поэтому, для построения цикла выберем, например, клетку (4,2):

Таблица №6

ПН ПО	В1	В2	В3	В4	В5	i
А1	10	8	5 42	6 6	9	0
А2	6 + 4	7	8	6	5 - 26	-1
А3	8	7 - 27	10	8	7 + 0	1
А4	7 - 14	5 + 	4	6 6	8	0
j	7	6	5	6	6

Теперь будем перемещать по циклу число 14, так как оно является минимальным из чисел, стоящих в клетках, помеченных знаком - . При перемещении мы будем вычитать 14 из клеток со знаком - и прибавлять к клеткам со знаком + .

После этого необходимо подсчитать потенциалы _i и _j и цикл расчетов повторяется.

Итак, мы приходим к следующему алгоритму решения транспортной задачи методом потенциалов.

1. Взять любой опорный план перевозок, в котором отмечены m + n - 1 базисных клеток (остальные клетки свободные).

2. Определить для этого плана платежи (_i и _j ) исходя из условия, чтобы в любой базисной клетке псевдостоимости были равны стоимостям. Один из платежей можно назначить произвольно, например, положить равным нулю.

3. Подсчитать псевдостоимости č_i,j = _i + _j для всех свободных клеток. Если окажется, что все они не превышают стоимостей, то план оптимален.

4. Если хотя бы в одной свободной клетке псевдостоимость превышает стоимость, следует приступить к улучшению плана путём переброски перевозок по циклу, соответствующему любой свободной клетке с отрицательной ценой (для которой псевдостоимость больше стоимости).

5. После этого заново подсчитываются платежи и псевдостоимости, и, если план ещё не оптимален, процедура улучшения продолжается до тех пор, пока не будет найден оптимальный план.

Так в нашем примере после 2 циклов расчетов получим оптимальный план. При этом стоимость всей перевозки изменялась следующим образом: F₀ = 723, F₁ = 709, F₂ = F_min = 703.

Следует отметить так же, что оптимальный план может иметь и другой вид, но его стоимость останется такой же F_min = 703.

Список использованной литературы

1. Еремин И.И., Астафьев Н.Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования М.; Наука, 1976г.

2. Карманов В.Г. Математическое программирование. – М.; Наука, 1986г.

3. Моисеев Н.Н., Иванов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. – М.; Наука, 1978г.

4. Иванов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. – М.; Наука, 1979г.

5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – М.; Наука, 1986г