Выборочные наблюдения (лекции и методические указания)
Возможные варианты значений выборочных средних и отклонения их от генеральной средней представлены в виде ряда распределения (табл.2)
Таблица 2
Выборочные средние разряды рабочих |
Число выборок с данной выборочной средней fj |
Отклонение выборочной средней от генеральной средней |
Вероятность появления данного значения выборочной средней (или величины отклонения выборочной средней от генеральной) |
3,0 |
1 | -1,0 | 0,0625 |
3,5 | 4 | -0,5 | 0,2500 |
4,0 | 6 | 0,0 | 0,3750 |
4,5 | 4 | +0,5 | 0,2500 |
5,0 | 1 | +1,0 | 0,0625 |
Итого | 16 | 1,0000 |
В распределении величин выборочных средних и их отклонений наблюдаются определенные закономерности.
1. Из возможных результатов случайной повторной выборки наиболее вероятны такие, при которых величина выборочной средней будет близка к величине генеральной средней. Таким образом, чем больше величина случайной ошибки выборки, тем менее вероятно появление такой ошибки.
2. В примере не встречаются ошибки больше единицы по абсолютной величине, т.е. всегда существует предел расхождений между выборочной и генеральной средней.
По данным табл.2, где представлены все возможные варианты выборочных средних и их отклонения от генеральной средней, определяется величина стандартной ошибки выборки
Однако на практике исследователь оперирует данными какой-то одной конкретной выборки, а поэтому указанным способом определить стандартную ошибку средней невозможно.
Среднюю ошибку можно определить по формуле, используя величину дисперсии в генеральной совокупности (в данном примере генеральная дисперсия признака равна 0,5)
Распределение выборочной доли представлено в табл.3
Таблица 3
Выборочная доля |
Число выборок с данной выборочной долей fj |
Отклонение выборочной доли от генеральной |
||
0,0 | 4 | -0,5 | 0,0 | 1,0 |
0,5 | 8 | 0,0 | 4,0 | 0,0 |
1,0 | 4 | +0,5 | 4,0 | 1,0 |
Итого | 16 | 8,0 | 2,0 |
В среднем для всех возможных вариантов выборок величина выборочной доли совпадает с долей признака в генеральной совокупности
Средняя квадратическая ошибка доли в генеральной совокупности
Среднюю квадратическую ошибку доли в генеральной совокупности можно определить, используя долю признака в генерального совокупности ( p = 0,5),
В формулы средних ошибок выборки
;
входят дисперсии признака и доли в генеральной совокупности, величины которых, как правило, при проведении выборочного наблюдения неизвестны. Поэтому для расчета средних ошибок выборки приходится использовать выборочные дисперсии в качестве оценки генеральной совокупности.
4.4. Объем выборки
Определение необходимого объема выборки n основывается на формулах предельных ошибок выборочной доли и выборочной средней. Например, для повторного отбора предельные ошибки равны
отсюда объемы выборок для расчета выборочной доли nw и выборочной средней nx следующие:
Аналогичным образом определяются объемы выборок при различных способах отбора выборочной совокупности. Для серийного отбора определяется число отобранных серий. Формулы расчета приведены в табл.4.3.
Таблица 4.3
Формулы расчета объема выборки
Метод отбора выборки |
Объем выборки или число серий для определения |
|
выборочной доли |
выборочной средней |
|
Механический и собственно–случайный повторный отбор | ||
Механический и собственно–случайный бесповторный отбор | ||
Серийный отбор при повторном отборе равновеликих серий | ||
Серийный отбор при бесповторном отборе равновеликих серий | ||
Типический отбор при повторном случайном отборе внутри групп, пропорциональном объему групп | ||
Типический отбор при бесповторном случайном отборе внутри групп, пропорциональ-ном объему групп |
где nw, nx – объемы выборок соответственно для определения ошибок выборочной доли и выборочной средней;
rw, rx – число отобранных серий соответственно для определения ошибок выборочной доли и выборочной средней;
– предельные ошибки соответственно выборочной доли и выборочной средней.
Вариация () признака существует объективно, независимо от исследователя, но к началу выборочного наблюдения она неизвестна. Для приближенной оценки используются следующие способы:
- дисперсия определяется на основе результатов проведения "пробного" обследования (обычно небольшого объема). По данным нескольких пробных обследований выбирается наибольшее значение дисперсии;
- дисперсия принимается из предыдущих исследований;
- по правилу "трех сигм" общий размах вариации Н укладывается в 6 сигм, среднее квадратическое отклонение принимается равным
Для большей точности размах делится на 5;
- если хотя бы приблизительно известна средняя величина изучаемого признака, то
- при изучении альтернативного признака (изучении доли), если нет даже приблизительных сведений о доле единиц, обладающих заданным значением этого признака, принимается максимально возможная величина дисперсии, равная 0,25.
В связи с тем, что генеральная дисперсия оценивается приближенно, рекомендуется рассчитанный объем выборки округлять в большую сторону.
Часто на практике задается не величина абсолютной предельной ошибки , а величина относительной погрешности , выраженная в процентах к средней величине
откуда
В этом случае объем выборки
Если известен коэффициент вариации то объем выборки
Например, по данным пробного обследования коэффициент вариации составляет 40%. Сколько необходимо отобрать единиц, чтобы с вероятностью 0,954 предельная относительная ошибка выборки не превышала 5%?
При
При серийном или типическом отборе, не пропорциональном объему групп, общее число отбираемых единиц делится на количество групп. Полученная величина является объемом выборки из каждой группы.
При отборе, пропорциональном числу единиц в группе, число наблюдений по каждой группе определяется по формуле
где nj - объем выборки из j -й группы;
n - общий объем выборки;
Nj - объем j -й группы;
N - объем генеральной совокупности.
При отборе с учетом вариации признака, приводящем к минимальной ошибке выборки, процент выборки из каждой типической группы должен быть пропорционален среднему квадратическому отклонению в этой группе. Расчет численности выборки производится по формулам:
для средней
для доли
4.5. Малая выборка
Под малой выборкой понимается такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 20–30 и может составлять 5–6. С увеличением численности выборочной совокупности повышается точность выборочных данных, однако приходится иногда ограничиваться малым числом наблюдений. Эта необходимость возникает, например, при проверке качества продукции, связанной с уничтожением проверяемой единицы продукции. В математической статистике доказывается, что при малых выборках характеристики выборочной совокупности можно распространять на генеральную, но расчет средней и предельной ошибок выборки имеет особенности.
Ранее указывалось, что при большом объеме выборочной совокупности (n > 100) коэффициент , на который необходимо умножить выборочную дисперсию, чтобы получить генеральную, не играет большой роли. Но когда выборочная совокупность небольшая, этот коэффициент необходимо принимать во внимание. Средняя ошибка малой выборки ( ) вычисляется по формуле
где – дисперсия в малой выборке, которая определяется следующим образом:
Предельная ошибка имеет вид
Значение коэффициента доверия зависит не только от заданной доверительной вероятности, но и от численности единиц выборки n . Английский ученый Стьюдент доказал, что в случаях малой выборки действует особый закон распределения вероятности. В табл.4.4 приводятся значения, характеризующие вероятность () того, что предельная ошибка малой выборки не превысит –кратную среднюю ошибку:
Таблица 4.4
Распределение вероятности в малых выборках в зависимости
от значения коэффициента и численности выборки
|
n |
||||||
5 | 7 | 10 | 12 | 16 | 18 | 20 | |
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 |
0,626 0,792 0,884 0,933 0,960 |
0,644 0,816 0,908 0,953 0,976 |
0,657 0,832 0,923 0,966 0,985 |
0,662 0,838 0,930 0,970 0,988 |
0,666 0,846 0,936 0,975 0,991 |
0,668 0,848 0,938 0,977 0,992 |
0,670 0,850 0,940 0,978 0,993 |
Статистическая проверка гипотез
Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики:
Учебник. М.: ИНФРА-М, 1998. - 416 с. (стр.182-203)
1. Выбор критической области. Критерии согласия.
2. Проверка гипотезы о принадлежности "выделяющихся" наблюдений исследуемой генеральной совокупности.
3. Проверка гипотезы о величине средней арифметической и доли.
4. Проверка гипотезы о расхождении двух выборочных дисперсий (дисперсионный анализ).
ЛИТЕРАТУРА
1. Богородская Н.А. Статистика. Методы анализа статистической
информации: Текст лекций. СПб.: СПГААП. - 1997. - 80 с.
2. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики:
Учебник. М.: ИНФРА-М, 1998. - 416 с.
3. Статистика: Курс лекций /Харченко Л.П., Долженкова В.Г., Ионин В.Г. и
др.; Под ред. В.Г.Ионина. - Новосибирск: Изд-во НГАЭиУ, 1996. - 310 с.
4. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении
коммерческой деятельности. Учебник /А.И.Харламов, О.Э.Башина,
В.Т.Бабурин и др.; Под ред.А.А.Спирина, О.Э.Башиной. М.: Финансы
статистика, 1994. - 296 с.
5. Гусаров В.М. Теория статистики. - М.: Аудит, 1998. - 247 с.
6. Елисеева И.И., М.М.Юзбашев. Общая теория статистики. - М.: Финансы и
статистика, 1998. - 367 с.
7. Теория статистики. Учебник/Под ред.Р.А.Шмойловой. - М.: Финансы и
статистика, 1998. - 576 с.
8. Ряузов Н.Н. Общая теория статистики: Учебник для студентов экономич.
спец. вузов. -4-е изд., перераб. и дополн. М.: Финансы и статистика, 1984.
- 343 с.
9. Общая теория статистики / Под ред.Гольберга А.М., Козлова В.С. - М.:
Финансы и статистика, 1986. - 367 с.
10. Общая теория статистики / Под ред.Боярского А.Я., Громыко Г.Л.. М.:
Изд-во МГУ, 1985. - 326 с.
11. Практикум по теории статистики: Учебное пособие./ Под ред.
Р.А.Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 1998. 416 с.
12. Сборник задач по общей теории статистики: Учебное пособие для
студентов вузов, обучающихся по специальности “Статистика” /
Овсиенко В.Е., Голованова Н.В., Королев Ю.Г. и др., -2-е изд., перераб. и
дополн. М.: Финансы и статистика, 1986. - 191 с.
13. Практикум по общей теории статистики /Под ред. Ряузова Н.Н. - 2-е изд.,
перераб.и дополн. М.: Финансы и статистика, 1981. - 278 с.
14. Вайнберг Дж., Шумекер Дж. Статистика. М.: Статистика, 1979. 389 с.
15. Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математико–статистические понятия и формулы в экономическом анализе. М.: Статистика, 1974. 278 с.
16. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. М.: Статистика, 1977. 229 с.
Приложение
Таблица случайных чисел
5489 |
5583 |
3156 |
0835 |
1988 |
3912 |
0938 |
7460 |
0869 |
4420 |
3522 |
0935 |
7877 |
5665 |
7020 |
9555 |
7375 |
7124 |
7878 |
5544 |
7555 |
7579 |
2550 |
2487 |
9477 |
0864 |
2349 |
1012 |
8250 |
2633 |
5759 |
3554 |
5080 |
9074 |
7001 |
6249 |
3224 |
6368 |
9102 |
2672 |
6303 |
6895 |
3371 |
3196 |
7231 |
2918 |
7380 |
0438 |
7547 |
2644 |
7351 |
5634 |
5323 |
2623 |
7803 |
8374 |
2191 |
0464 |
0696 |
9529 |
7068 |
7803 |
8832 |
5119 |
6350 |
0120 |
5026 |
3684 |
5657 |
0304 |
3613 |
1428 |
1796 |
8447 |
0503 |
5654 |
3254 |
7336 |
9536 |
19441 |
5143 |
4534 |
2105 |
0368 |
7890 |
2473 |
4240 |
8652 |
9435 |
. 1422 |
9815 |
5144 |
7649 |
8638 |
6137 |
8070 |
5345 |
4865 |
2456 |
5708 |
5780 |
1277 |
6816 |
1013 |
2867 |
9938 |
3930 |
3203 |
5696 |
1769 |
1187" |
0951 |
5991 |
5245 |
5700 |
5564 |
7352 |
0891 |
6249 |
6568; |
4184 |
2179 |
4554 |
9083 |
2254 |
2435 |
2965 |
5154 |
1209 |
7069 |
2916 |
2972 |
9885 |
0275 |
0144 |
8034 |
8122 |
3213 |
7666 |
0230 |
5524 |
1341 |
9860 |
6565 |
6981 |
9842 |
0171 |
2284 |
2707 |
3008 |
0146 |
5291 |
2354 |
5694 |
0377 |
5336 |
6460 |
9585 |
3415 |
2358 |
4920 |
2826 |
5238 |
5402 |
7937 |
1993 |
4332 |
2327 |
6875 |
5230 |
7978 |
1947 |
, 6380 |
3425 |
7267 |
7285 |
1130 |
7722 |
0164 |
8573 |
7453 |
0653 |
3645 |
7497 |
5969 |
8682 |
4191 |
2976 |
0361 |
9334 |
1473 |
6938 |
4899 |
5348 |
1641 |
3652 |
0852 |
5296 |
4538 |
4456 |
8162 |
8797 |
8000 |
4707 |
1880 |
9660 |
8446 |
1883 |
9768 |
0881 |
5645 |
4219 |
0807 |
3301 |
4279 |
4168 |
4305 |
9937 |
3120 |
5547 |
2042 |
1192 |
1175 |
8851 |
6432 |
4635 |
5757 |
6656 |
1660 |
5389 |
5470 |
7702 |
6958 |
9080 |
5925 |
8519 |
0127 |
9233 |
2452 |
7341 |
4045 |
1730 |
6005 |
1704 |
0345 |
3275 |
4738 |
4862 |
2556 |
8333 |
5880 |
1257 |
6163 |
4439 |
7276 |
6353 |
6912 |
0731 |
9033 |
5294 |
9083 |
4260 |
5277 |
4998 |
4298 |
5204 |
3965, |
4028 |
8936 |
5148 |
1762 |
8713 |
1189 |
1090 |
8989 |
7273 |
3213 |
1935 |
9321 |
4820 |
2023 |
2589 |
1740 |
0424 |
8924 |
0005 |
1969 |
1636 |
7237 |
1227 |
7965 |
3855 |
4765 |
0703 |
1678 |
0841 |
7543 |
0308 |
9732 |
1289 |
7690 |
0480 |
8098 |
9629 |
4819 |
7219 |
7241 |
5128 |
3853 |
1921 |
9292 |
0426 |
9573 |
4903 |
5916 |
6576 |
8368 |
3270 |
6641 |
0033 |
0867 |
1656 |
7016 |
4220 |
2533 |
6345 |
8227 |
1904 |
5138 |
2537 |
0505 |
2127 |
8255 |
5276 |
2233 |
3956 |
4118 |
8199 |
6380 |
6340 |
6295 |
9795 |
1112 |
5761 |
2575 |
6837 |
3336 |
9322 |
7403 |
8345 |
6323 |
2615 |
3410 |
3365' |
1117 |
2417 |
3176 |
2434 |
5240 |
5455 |
8672 |
8536 |
2966 |
5773 |
5412 |
8114 |
0930 |
4697 |
6919 |
4569 |
1422 |
5507 |
7596 |
0670 |
3013 |
1351 |
3886 |
3268 |
9469 |
2584 |
2653 |
1472 |
5113 |
5735 |
1469 |
9545 |
9331 |
5303 |
9914 |
6394 |
0438 |
4376 |
3328 |
8649 |
8327 |
0110 |
4549 |
7955 |
5275 |
2890 |
2851 |
2157 |
0047 |
7085 |
1129 |
0460 |
6821 |
8323 |
2572 |
8962 |
7962 |
2753 |
3077 |
8718 |
7418 |
8004 |
1425 |
3706 |
8822 |
1494 |
3837 |
4098 |
0220 |
1217 |
4732 |
0150 |
1637 |
1097 |
1040 |
7372 |
8542 |
4126 |
9274 |
2251 |
0607 |
4301 |
8730 |
7690 |
6235 |
3477 |
0139 |
0765 |
8039 |
9484 |
2577 |
7859 |
1976 |
0623 |
1418 |
6685 |
6687 |
1943 |
4307 |
0579 |
8171 |
8224 |
8641 |
7034 |
3595 |
3875 |
6242 |
5582 |
5872 |
3197 |
4919 |
2792 |
5991 |
4058 |
9769 |
1918 |
6859 |
9606 |
0522 |
4993 |
0345 |
8958 |
1289 |
8825 |
6941 |
7685 |
6590 |
1932 |
6043 |
3623 |
1973 |
4112 |
1795 |
8465 |
2110 |
8045 |
3482 |
0478 |
0221 |
6738 |
7323 |
5643 |
4767 |
0106 |
2272 |
9862 |
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Санкт-Петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения
СТАТИСТИКА
Выборочные наблюдения
Методические указания к практическим занятиям
Санкт-Петербург
1999
Составитель Н.А. Богородская
Рецензент кандидат экономических наук доцент Л.Г.Фетисова
Методические указания к практическим занятиям предназначены для студентов, изучающих дисциплину "Статистика", обучающихся по направлению и специальности 521500 и 061100 "Менеджмент" и по экономическим специальностям и направлениям 071900, 060400, 060500, 522300 всех форм обучения.
В работе приведены методические указания к решению задач по теме "Выборочные наблюдения" и рассмотрены примеры решения задач для различных видов отбора: механического, собственно-случайного, серийного и типического при повторной и бесповторной выборке единиц из статистической совокупности.
С Санкт-Петербургский
государственный университет
аэрокосмического
приборостроения, 1999
Лицензия ЛР №020341 от 07.05.97
Подписано к печати Формат 60ґ84 1/16 Бумага тип. № 3.
Печать офсетная. Усл.печ.л. 1,86 Уч.-изд.л. 2,0