Выборочные наблюдения (лекции и методические указания)

Дисперсия определяется по формуле

, а среднее выборочное значение

Расчет среднего и дисперсии числа детей в семье в выборочной совокупности приведены в табл.2.2.

Таблица 2.2

Среднее число детей в семье

чел.

Дисперсия числа детей в семье

Средняя ошибка числа детей в выборке составит

чел.

Значению вероятности 0,997 соответствует значение гарантийного коэффициента Тогда предельная ошибка выборочной средней

чел.

Значение генеральной средней определяется

Пределы, в которых находится среднее число детей в семье в районе А:

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что число детей в семьях района А колеблется от 0,99 до 2,01 человека ( от 1 до 2 человек).

Задача 2. Методом собственно-случайного (или механического) повторного отбора было взято для проверки на вес 200 штук деталей. В результате проверки был установлен средний вес деталей 30 г при среднем квадратическом отклонении 4 г.

С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых находится средний вес деталей в генеральной совокупности.

Решение.

Средняя ошибка среднего веса деталей в выборке (выборочной средней)

Предельная ошибка выборочной средней с вероятностью 0,954 (гарантийный коэффициент) составит

Верхняя граница генеральной средней

Нижняя граница генеральной средней

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний вес детали колеблется в пределах

Задача 3. Методом собственно-случайного (или механического) бесповторного отбора из общей численности работников предприятия (5 тыс.чел.) было отобрано 500 работников. Установлено, что 20% работников в выборке старше 60 лет.

Определить с вероятностью 0,683 пределы, в которых находится доля работников предприятия в возрасте старше 60 лет.

Решение.

Средняя ошибка выборочной доли работников старше 60 лет определяется следующим образом (см.табл.1.2)

С вероятностью 0,683 (гарантийный коэффициент) предельная ошибка выборочной доли работников старше 60-ти лет составит

Верхняя граница генеральной доли

Нижняя граница генеральной доли

С вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля работников в возрасте старше 60 лет на предприятии колеблется от 18,3% до 21,7%.

Задача 4. При обследовании 100 изделий, отобранных из партии методом механического (или собственно-случайного) повторного отбора, 10 изделий оказались дефектными.

Определить с вероятностью 0,866 пределы, в которых находится доля дефектных изделий в партии.

Решение.

Для дефектной продукции в выборочной совокупности

Средняя ошибка выборочной доли дефектных изделий равна (см.табл.1.2)

Предельная ошибка выборочной доли с вероятностью 0.866 (гарантийный коэффициент) составит

С вероятностью 0,866 можно утверждать, что доля дефектной продукции в партии колеблется от 5,5% до 14,5%.

Задача 5. В районе А проживает 2000 семей. Предполагается определить средний размер семьи в районе по выборке, взятой методом механического (или собственно-случайного) бесповторного отбора. При этом с вероятностью 0,997 ошибка среднего размера семьи в выборке (выборочной средней) не должна превышать 0,8 человека при среднем квадратическом отклонении в размере семьи 2 человека.

Определить необходимую численность выборки для определения среднего размера семьи в районе.

Решение.

Необходимая численность выборки (см.табл.1.3) при вероятности 0,997 (гарантийный коэффициент) определяется следующим образом:

семей.

Проверка. Средняя ошибка среднего размера семьи составляет

чел.

Предельная ошибка выборочной средней при вероятности 0,997 ()

чел. не превышает заданной ошибки 0,8 чел.

Задача 6. Для определения средней длины детали необходимо провести выборочное обследование методом случайного (или механического) повторного отбора.

Определить, какое количество деталей необходимо отобрать (числен-ность выборки), чтобы ошибка выборки (ошибка выборочной средней) не превышала 2 мм с вероятностью 0,988 при среднем квадратическом отклонении 8 мм.

Решение.

Необходимая численность выборки в случае повторного собственно-случайного (или механического) отбора (см.табл.1.3) при вероятности 0,997 (гарантийный коэффициент) определяется следующим образом:

деталей.

Проверка. Средняя ошибка средней длины детали составляет

мм.

Предельная ошибка выборочной средней при вероятности 0,988 () составляет мм, что соответствует условию задачи.

Задача 7. В городе А имеется 10 тыс.семей. С использованием метода выборочных наблюдений предполагается определить долю семей с числом детей три и более.

Определить численность выборки, чтобы при механическом (или собственно-случайном) отборе с вероятностью 0,954 ошибка выборки (доли семей с числом детей три и более) не превышала 0,02, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,2.

Решение.

Необходимая численность выборки для определения доли семей с числом детей три и более (см.табл.1.3) при вероятности 0,954 (гарантийный коэффициент) определяется

для бесповторного отбора

семей;

для повторного отбора

семей.

Задача 8. Для изучения оснащения 500 предприятий основными производственными фондами было проведено 10%-е выборочное обследование методом собственно-случайного (или механического) отбора, в результате которого получены следующие данные о распределении предприятий по стоимости основных производственных фондов:

Таблица 2.3

Определить:

- с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и границы, в которых будет находиться среднегодовая стоимость основных производственных фондов всех предприятий генеральной совокупности;

- с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки при определении доли и границы, в которых будет находиться удельный вес предприятий со стоимостью основных производственных фондов свыше 40 млн р.;

- объемы выборочной совокупности при условии, что:

предельная ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов с вероятностью 0,997 была бы не более 5 млн р.;

предельная ошибка доли предприятий со стоимостью основных производственных фондов свыше 40 млн р. с вероятностью 0,954 была бы не более 15%.

Решение.

Для определения границ генеральной средней необходимо вычислить среднюю выборочную и дисперсию , расчет которых приведен в табл.2.3.

Тогда

млн р.;

Таблица 2.4

Для упрощения расчета средней и дисперсии можно использовать способ моментов.

При следующих исходных данных: N =500; n =50; средняя ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных фондов составит:

при повторном отборе

млн р.;

при бесповторном отборе

млн.р.

При определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов в среднем на одно предприятие в выборочной совокупности средняя ошибка выборки (ошибка репрезентативности) при повторном отборе составляет 2,5 млн р., при бесповторном - 2,37.

Предельная ошибка выборочной средней с вероятностью 0,997 (гарантийный коэффициент) составит

при повторном отборе

млн р.

при бесповторном отборе

млн р.

Значение генеральной средней определяется

Пределы, в которых находится среднее число детей в семье в районе А:

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов в среднем на одно предприятие генеральной совокупности находится в следующих пределах:

при повторном отборе

млн.р или ;

при бесповторном отборе

млн.р или .

Эти границы можно гарантировать с вероятностью 0,997.

Вычисление пределов при установлении доли осуществляется аналогично нахождению пределов для средней величины

где p - доля единиц в генеральной совокупности, обладающих данным признаком.

Доля предприятий в выборочной совокупности со среднегодовой стоимостью основных производственных фондов свыше 40 млн р. составляет

Предельная ошибка доли с вероятностью 0,954 (гарантийный коэффициент):

при повторном отборе

при бесповторном отборе

С вероятностью 0,954 доля предприятий со среднегодовой стоимостью основных производственных фондов свыше 40 млн р. в генеральной совокупности находится в пределах:

при повторном отборе

или ;

при бесповторном отборе

или

При бесповторном отборе ошибка выборки меньше, чем при тех же условиях при повторной выборке.

Объем выборки для расчета ошибки средней при N =500; n =50; ; млн р. с вероятностью 0,997 (гарантийный коэффициент)

при повторном отборе

предпр.;

при бесповторном отборе

предпр.

Объем выборки для расчета ошибки доли при N =500; n =50; ; с вероятностью 0,954 (гарантийный коэффициент)

при повторном отборе

предпр.;

при бесповторном отборе

предпр.

2.2. Серийный отбор

Задача 1. В одном из цехов предприятия в десяти бригадах работает 100 рабочих. В целях изучения квалификации рабочих была проведена 20%-я серийная бесповторная выборка, в которую вошли 2 бригады. Получено следующее распределение обследованных рабочих по разрядам:

Таблица 2.5

Определить с вероятностью 0,997 предел, в котором находится средний разряд рабочих цеха.