Выборочные наблюдения (лекции и методические указания)
Средняя ошибка выборочной средней (см.табл.1.2) определяется по следующей формуле:
,
где – межсерийная дисперсия выборочных средних;
R – число серий в генеральной совокупности;
r – число отобранных серий.
Для определения межсерийной (межгрупповой) дисперсии выборочных средних необходимо рассчитать групповые и общую среднюю величину.
Средний разряд:
в первой бригаде
разр.
во второй бригаде
разр.
Средний разряд рабочего в двух бригадах (общая средняя)
разр.
Межсерийная (межгрупповая) дисперсия
где – среднее значение показателя в j – й серии (группе);
– среднее значение показателя во всех сериях (общая средняя).
Средняя ошибка среднего разряда рабочего в двух бригадах (выборочной средней)
разр.
Значению вероятности 0,997 соответствует значение гарантийного коэффициента Тогда предельная ошибка выборочной средней
разр.
С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний разряд рабочих цеха находится в пределах
Задача 2. Детали упакованы в 200 ящиков по 40 деталей в каждый. Для проверки качества деталей был проведен сплошной контроль деталей в 20 ящиках (10%-й серийный бесповторный отбор). В результате контроля установлено, что доля бракованных деталей составляет 15%. Межсерийная дисперсия равна 0,002.
С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых находится доля бракованной продукции во всей партии ящиков.
Решение.
Средняя ошибка выборочной доли (см.табл.1.2)
где – межсерийная дисперсия выборочной доли.
Предельная ошибка выборочной доли (доли бракованных деталей в выборке) с вероятностью 0,954 (гарантийный коэффициент) составит
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля дефектной продукции в партии (в 200 ящиках) находится в пределах
Задача 3. В механическом цехе предприятия имеется 10 бригад по 20 рабочих в каждой бригаде. Для установления квалификации (среднего разряда) рабочих цеха используется метод серийного бесповторного отбора.
Определить необходимое количество бригад, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборки (средний разряд рабочего в цехе) не превышала одного разряда. На основе предыдущих исследований известно, что межсерийная дисперсия равна 0,9.
Решение.
С вероятностью 0,997 (гарантийный коэффициент ) численность выборочной совокупности (число отобранных бригад) определяется следующим образом (см.табл1.3):
бр.
Задача 4. На предприятии работает 200 бригад с одинаковой численностью рабочих. Для изучения доли рабочих, выполняющих норму выработки, используется метод серийного бесповторного отбора.
Определить необходимую численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки (предельная ошибка доли рабочих, выполняющих норму выработки) не превышала 5%, если межсерийная дисперсия выборочной доли равна 2,25.
Решение.
Необходимая численность выборки для изучения выборочной доли (см.табл.1.3) с вероятностью 0,954 (гарантийный коэффициент) равна
бр.
Задача 5. Для определения средней наработки до отказа 1000 приборов, распределенных на партии (серии) по 10 шт., проводится серийная 4%-я бесповторная выборка. Результаты испытаний отобранных приборов характеризуются следующими данными:
Таблица 2.6
Показатели | Номер партии приборов | |||
1 | 2 | 3 | 4 | |
Средняя наработка до отказа, тыс.ч Доля приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс.ч |
10 0,80 |
12 0,85 |
15 0,90 |
18 0,95 |
Определить:
1) средние ошибки репрезентативности:
- наработки приборов до отказа;
- удельного веса приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс.ч;
2) с вероятностью 0,954 пределы, в которых будет находиться:
- средняя наработка до отказа всех приборов;
- доля приборов в генеральной совокупности, наработка до отказа которых не менее 12 тыс.ч;
3) вероятность того, что
- предельная ошибка выборки при установлении средней наработки до отказа не превысит 1,0 тыс.ч;
- доля приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс.ч будет находиться в пределах от 83% до 92%.
Решение.
1. При бесповторном отборе серий средняя ошибка репрезентативности определяется по формулам (см.табл.1.3) соответственно для средней и для доли
где r – число отобранных серий;
R – число серий в генеральной совокупности;
– межсерийная дисперсия выборочных средних;
– межсерийная дисперсия выборочной доли.
Средняя наработка до отказа приборов в отобранных 4 партиях
тыс. ч.
Средний удельный вес приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс.ч
Межсерийная дисперсия для средней и для доли определяется по формулам
Расчет приведен в табл.2.7
Таблица 2.7
Но-мер партии |
Средняя наработка до отказа, тыс.ч |
Доля приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс. ч, |
||||
1 2 3 4 |
10 12 15 18 |
-3,75 -1,75 1,25 4,25 |
14,06 3,06 1,56 18,06 |
0,80 0,85 0,90 0,95 |
-0,075 -0,025 0,025 0,075 |
0,005625 0,000625 0,000625 0,005625 |
0 | 36,74 | 0,012500 |
Тогда межсерийные дисперсии
Средние ошибки репрезентативности:
- при определении средней -
тыс. ч;
- при определении доли -
2. С вероятностью 0,954 (гарантийный коэффициент) предельные ошибки репрезентативности для средней и для доли:
тыс. ч;
Средняя наработка до отказа всех 1000 приборов находится в пределах
тыс. ч или
Средний удельный вес приборов с наработкой до отказа не менее
12 тыс. ч в генеральной совокупности будет находиться в пределах
или
3. Средняя ошибка средней наработки прибора до отказа при R =100;
r =4; тыс. ч; составляет тыс. ч.
Для определения вероятности того, что разница средних величин наработки до отказа в выборочной и генеральной совокупности не превысит заданную предельную ошибку тыс. ч, т. е.
тыс.ч
рассчитывается гарантийный коэффициент из следующего выражения:
В таблице значений вероятностей (см.табл 1.1) значению
соответствует вероятность 0,993.
Следовательно, с вероятностью 0,993 можно гарантировать, что средняя наработка прибора до отказа в генеральной совокупности будет находиться в пределах тыс. ч.
Средняя ошибка доли приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс. ч при R =100; r =4; ; составляет
Для определения вероятности того, что разница удельного веса приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс. ч в выборочной и генеральной совокупности не превысит заданную предельную ошибку
(83,0-87,5= -4,5%; 92,0-87,5= +4,5%), т. е.
рассчитывается гарантийный коэффициент из следующего выражения:
В таблице значений вероятностей (см.табл 1.1) значению
соответствует вероятность 0,890.
Следовательно, с вероятностью 0,890 удельный вес приборов с наработкой до отказа не менее 12 тыс. ч будет находиться в пределах
2.3. Типический отбор
Задача 1. В трех районах 30 тыс. семей. В первом районе - 15 тыс.; во втором - 12 тыс. и в третьем - 3 тыс. семей. Для определения числа детей в семье была проведена 10%-я типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности единиц типических групп. Внутри групп применялся метод случайного бесповторного отбора. Результаты выборочного обследования семей в трех районах представлены в табл.2.8
Таблица 2.8
Номер района | Число семей в районе | Среднее число детей в семье | Среднее квадратическое отклонение |
1 2 3 |
15000 12000 3000 |
1,3 1,8 0,8 |
1,2 2,5 0,5 |
С вероятностью 0,997 определить предел, в котором находится среднее число детей в семье в трех районах.
Решение.
Средняя ошибка выборочной средней при типическом бесповторном отборе (см.табл.1.2) определяется следующим образом:
где – средняя из групповых дисперсий выборочной средней;
n – численность выборочной совокупности по всем типическим группам (районам);
N – численность генеральной совокупности (число семей во всех
районах).
Объем выборки в каждой типической группе (районе) nj
где Nj - число семей в j - м районе;
Число семей, выбранных для обследования в каждом районе при условии, что численность выборочной совокупности n по трем районам равна 3000 семей
семей;
семей;
семей.
Среднее число детей в семье по трем районам в выборочной совокупности (выборочная средняя) с учетом численности отобранных групп
чел.
Средняя из групповых дисперсий (внутригрупповая дисперсия)
Средняя ошибка выборочной средней при типической выборке (средняя ошибка среднего числа детей в семье)
чел.
Предельная ошибка средней с вероятностью 0,997 (гарантийный коэффициент) составит
чел.
С вероятностью 0,997 можно утверждать, что в трех районах среднее число детей в семье находится в пределах
Задача 2. Для выявления причин простоев была проведена фотография рабочего дня 10% рабочих четырех различных цехов. Отбор рабочих внутри цехов производился методом случайного бесповторного отбора. В результате анализа выборочных данных была выявлена доля простоев из-за несвоевременного поступления комплектующих изделий (табл.2.9)
Таблица 2.9
Номер цеха |
Число рабочих в выборке, чел. |
Удельный вес простоев из-за несвоевременного поступления комплектующих изделий, % |
1 2 3 4 |
20 36 14 30 |
5 10 15 2 |
Итого | 100 | - |
С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых находится доля простоев на предприятии из-за несвоевременного поступления комплектующих изделий.
Решение.
Средняя ошибка выборочной доли при типическом бесповторном отборе (см.табл.1.2) определяется следующим образом:
где – средняя из групповых дисперсий выборочной доли.
Средняя выборочная доля простоев из-за несвоевременного поступления комплектующих изделий в четырех цехах
Дисперсия выборочной доли в i -й типической группе определяется по формуле
Для первого цеха -
для второго -
для третьего -
для четвертого -