Xreferat.com » Рефераты по теории организации » Теория организации и системный анализ

Теория организации и системный анализ

{2 - 10}

Прежде всего, еще раз отметим взаимную связь событий X и Y — если одно не зависит от другого, то данная формула обращается в тривиальное тождество. Кстати, это обстоятельство используется при решении задач оценки тесноты связей — корреляционном анализе. Если же взаимосвязь событий имеет место, то формула Байеса позволяет вести управление путем оценки вероятности достижения некоторой цели на основе наблюдений над процессом функционирования системы — путем перерасчета вариантов стратегий с учетом изменившихся представлений, т. е. новых значений вероятностей.

Дело в том, что любая стратегия управления будет строиться на базе определенных представлений о вероятности событий в системе — и на первых шагах эти вероятности будут взяты "из головы" или в лучшем случае из опыта управления другими системами. Но по мере "жизни" системы нельзя упускать из виду возможность "коррекции" управления - использования всего накапливаемого опыта.


Схемы случайных событий и законы распределений случайных величин

Большую роль в теории и практике системного анализа играют некоторые стандартные распределения непрерывных и дискретных СВ.

Эти распределения иногда называют "теоретическими", поскольку для них разработаны методы расчета всех показателей распределения, зафиксированы связи между ними, построены алгоритмы расчета и т. п.

Таких, классических законов распределений достаточно много, хотя "штат" их за последние 30..50 лет практически не пополнился. Необходимость знакомства с этими распределениями для специалистов вашего профиля объясняется тем, что все они соответствуют некоторым "теоретическим" схемам случайных (большей частью — элементарных) событий.

Как уже отмечалось, наличие больших массивов взаимосвязанных событий и обилие случайных величин в системах экономики приводит к трудностям априорной оценки законов распределений этих событий или величин. Пусть, к примеру, мы каким-то образом установили математическое ожидание спроса некоторого товара. Но этого мало - надо хотя бы оценить степень колебания этого спроса, ответить на вопрос — а какова вероятность того, что он будет лежать в таких-то пределах? Вот если бы установить факт принадлежности данной случайной величины к такому классическому распределению как т. н. нормальное, то тогда задача оценки диапазона, доверия к нему (доверительных интервалов) была бы решена безо всяких проблем.

Доказано, например, что с вероятностью более 95% случайная величина X с нормальным законом распределения лежит в диапазоне — математическое ожидание Mx плюс/минус три среднеквадратичных отклонения SX.

Так вот — все дело в том к какой из схем случайных событий классического образца ближе всего схема функционирования элементов вашей большой системы. Простой пример - надо оценить показатели оплаты за услуги предоставления времени на междугородние переговоры - например, найти вероятность того, что за 1 минуту осуществляется ровно N переговоров, если заранее известно среднее число поступающих в минуту заказов. Оказывается, что схема таких случайных событий прекрасно укладывается в т. н. распределение Пуассона для дискретных случайных величин. Этому распределению подчинены почти все дискретные величины, связанные с так называемыми "редкими" событиями.

Далеко не всегда математическая оболочка классического закона распределения достаточно проста. Напротив — чаще всего это сложный математический аппарат со своими, специфическими приемами. Но дело не в этом, тем более при "повальной" компьютеризации всех областей деятельности человека. Разумеется, нет необходимости знать в деталях свойства всех или хоть какой-то части классических распределений - достаточно иметь в виду саму возможность воспользоваться ими.

Из личного опыта - очень давно, в до_компьютерную эру автору этих строк удалось предложить метод оценки степени надежности энергоснабжения, найти по сути дела игровой метод принятия решения о необходимости затрат на резервирование линий электропередач в условиях неопределенности — игры с природой.

Таким образом, при системном подходе к решению той или иной задачи управления (в том числе и экономического) надо очень взвешено отнестись к выбору элементов системы или отдельных системных операций. Не всегда "укрупнение показателей" обеспечит логическую стройность структуры системы — надо понимать, что заметить близость схемы событий в данной системе к схеме классической чаще всего удается на самом "элементарном" уровне системного анализа.

Завершая вопрос о распределении случайных величин обратим внимание на еще одно важное обстоятельство: даже если нам достаточно одного единственного показателя — математического ожидания данной случайной величины, то и в этом случае возникает вопрос о надежности данных об этом показателя.

В самом деле, пусть нам дано т. н. выборочное распределение случайной величины X (например — ежедневной выручки в $) в виде 100 наблюдений за этой величиной. Пусть мы рассчитали среднее Mx и оно составило $125 при колебаниях от $50 до $200. Попутно мы нашли SX, равное $5. Теперь уместен вопрос: а насколько правдоподобным будет утверждение о том, что в последующие дни выручка составит точно $125? Или будет лежать в интервале $120..$130? Или окажется более некоторой суммы — например, $90?

Вопросы такого типа чрезвычайно остры - если это всего лишь элемент некоторой экономической системы (один из многих), то выводы на финише системного анализа, их достоверность, конечно же, зависят от ответов на такие вопросы.

Что же говорит теория, отвечая на эти вопросы? С одной стороны очень много, но в некоторых случаях — почти ничего. Так, если у вас есть уверенность в том, что "теоретическое" распределение данной случайной величины относится к некоторому классическому (т. е. полностью описанному в теории) типу, то можно получить достаточно много полезного.

· С помощью теории можно найти доверительные интервалы для данной случайной величины. Если, например, уже доказано (точнее — принята гипотеза) о нормальном распределении, то зная среднеквадратичное отклонение можно с уверенностью в 5% считать, что окажется вне диапазона (Mx - 3Sx)......(Mx 3Sx) или в нашем примере выручка с вероятностью 0.05 будет <$90 или >$140. Надо смириться со своеобразностью теоретического вывода — утверждается не тот факт, что выручка составит от 90 до 140 (с вероятностью 95%), а только то, что сказано выше.

· Если у нас нет теоретических оснований принять какое либо классическое распределение в качестве подходящего для нашей СВ, то и здесь теория окажет нам услугу — позволит проверить гипотезу о таком распределении на основании имеющихся у нас данных. Правда - исчерпывающего ответа "Да" или "Нет" ждать нечего. Можно лишь получить вероятность ошибиться, отбросив верную гипотезу (ошибка 1 рода) или вероятность ошибиться приняв ложную (ошибка 2 рода).

· Даже такие "обтекаемые" теоретические выводы в сильной степени зависят от объема выборки (количества наблюдений), а также от "чистоты эксперимента" — условий его проведения.


Методы непараметрической статистики

Использование классических распределений случайных величин обычно называют "параметрической статистикой" - мы делаем предположение о том, что интересующая нас СВ (дискретная или непрерывная) имеет вероятности, вычисляемые по некоторым формулам или алгоритмам. Однако не всегда у нас имеются основания для этого. Причин тому чаще всего две:

· некоторые случайные величины просто не имеют количественного описания, обоснованных единиц измерения (уровень знаний, качество продукции и т. п.);

· наблюдения над величинами возможны, но их количество слишком мало для проверки предположения (гипотезы) о типе распределения.

В настоящее время в прикладной статистике все большей популярностью пользуются методы т. н. непараметрической статистики — когда вопрос о принадлежности распределения вероятностей данной величины к тому или иному классу вообще не подымается, но конечно же — задача оценки самой СВ, получения информации о ней, остается.

Одним из основных понятий непараметрической статистики является понятие ШКАЛЫ или процедуры шкалирования значений СВ. По своему смыслу процедура шкалирования суть решение вопроса о "единицах измерения" СВ. Принято использовать четыре вида шкал.

Nom. Первой из них рассмотрим НОМИНАЛЬНУЮ шкалу — применяемую к тем величинам, которые не имеют природной единицы измерения. Если некоторая величина может принимать на своей номинальной шкале значения X, Y или Z, то справедливыми считаются только выражения типа: (X#Y), (X#Z), (X=Z), а выражения типа (X>Y), (X не имеют никакого смысла. Примеры СВ, к которым применимы только номинальные шкалы — пол, цвет, марка автомобиля и т. п.

Ord. Второй способ шкалирования - использование ПОРЯД-КОВЫХ шкал. Они незаменимы для СВ, не имеющих природных единиц измерения, но позволяющих применять понятия предпочтения одного значения другому. Типичный пример: оценки знаний (даже при нечисловом описании), служебные уровни и т. п.; для таких величин разрешены не только отношения равенства (= или #), но и знаки предпочтения (> или <). Иногда говорят о рангах значений таких величин.

Int & Rel. Еще два способа шкалирования используются для СВ, имеющих натуральные размерности — это ИНТЕРВАЛЬНАЯ и ОТНОСИТЕЛЬНАЯ шкала. Для таких величин, кроме отношений равенства и предпочтения, допустимы операции сравнения - т. е. все четыре действия арифметики. Главная особенность таких шкал заключается в том, что разность двух значений на шкале (36 и 12) имеет один смысл для любого места шкалы (28 и 4). Различие между интервальной шкалой и относительной — только в понятии нуля — на интервальной шкале 0 Кг веса означает отсутствие веса, а на относительной шкале температур 0 градусов не означает отсутствие теплоты — поскольку возможны температуры ниже 0 градусов (Цельсия).

Можно теперь заметить еще одно преимущество, которое мы получаем при использовании методов непараметрической статистики — если мы сталкиваемся со случайной величиной непрерывной природы, то использование интервальной или относительной шкалы позволит нам иметь дело не со случайными величинами, а со случайными событиями — типа "вероятность того, что вес продукции находится в интервале 17 Кг". Поэтому можно предложить единый подход к описанию всех показателей функционирования сложной системы — описание на уровне простых случайных событий (с вероятностью P(X) может произойти событие X). При том под событием придется понимать то, что случайная величина займет одно из допустимых для нее положений на шкале Nom, Ord, Int или Rel.

Конечно — такой, “микроскопический” подход резко увеличивает объем информации, необходимой для системного анализа. Частично этот недостаток смягчается при использовании компьютерных методов системного анализа, но более важно другое — преимущество на начальных этапах анализа, когда решаются вопросы дезинтеграции большой системы (выделение отдельных ее элементов) и последующей ее интеграции для разработки стратегии управления системой.

Не будет большим преувеличением считать, что методы непараметрической статистики - наиболее мощное средство для решения задач системного анализа во многих областях деятельности человека и, в частности, в экономике.


Корреляция случайных величин

Прямое токование термина корреляция — стохастическая, вероятная, возможная связь между двумя (парная) или несколькими (множественная) случайными величинами.

Выше говорилось о том, что если для двух СВ (X и Y) имеет место равенство P(XY) =P(X) P(Y), то величины X и Y считаются независимыми. Ну, а если это не так!?

Ведь всегда важен вопрос — а как сильно зависит одна СВ от другой? И дело в не присущем людям стремлении анализировать что-либо обязательно в числовом измерении. Уже понятно, что системный анализ означает непрерывные выЧИСЛения, что использование компьютера вынуждает нас работать с числами, а не понятиями.

Для числовой оценки возможной связи между двумя случайными величинами: Y(со средним My и среднеквадратичным отклонением Sy) и — X (со средним Mx и среднеквадратичным отклонением Sx) принято использовать так называемый коэффициент корреляции

Rxy= . {2 - 11}


Этот коэффициент может принимать значения от -1 до +1 — в зависимости от тесноты связи между данными случайными величинами.

Если коэффициент корреляции равен нулю, то X и Y называют некоррелированными. Считать их независимыми обычно нет оснований — оказывается, что существуют такие, как правило — нелинейные связи величин, при которых Rxy = 0, хотя величины зависят друг от друга. Обратное всегда верно — если величины независимы, то Rxy = 0. Но, если модуль Rxy = 1, то есть все основания предполагать наличие линейной связи между Y и X. Именно поэтому часто говорят о линейной корреляции при использовании такого способа оценки связи между СВ.

Отметим еще один способ оценки корреляционной связи двух случайных величин — если просуммировать произведения отклонений каждой из них от своего среднего значения, то полученную величину —

Сxy= S (X - Mx)·(Y - My)

или ковариацию величин X и Y отличает от коэффициента корреляции два показателя: во-первых, усреднение (деление на число наблюдений или пар X, Y) и, во-вторых, нормирование путем деления на соответствующие среднеквадратичные отклонения.

Такая оценка связей между случайными величинами в сложной системе является одним из начальных этапов системного анализа, поэтому уже здесь во всей остроте встает вопрос о доверии к выводу о наличии или отсутствии связей между двумя СВ.

В современных методах системного анализа обычно поступают так. По найденному значению R вычисляют вспомогательную величину:

W = 0.5 Ln[(1 + R)/(1-R)] {2 - 12}

и вопрос о доверии к коэффициенту корреляции сводят к доверительным интервалам для случайной величины W, которые определяются стандартными таблицами или формулами.

В отдельных случаях системного анализа приходится решать вопрос о связях нескольких (более 2) случайных величин или вопрос о множественной корреляции.

Пусть X, Y и Z - случайные величины, по наблюдениям над которыми мы установили их средние Mx, My,Mz и среднеквадратичные отклонения Sx, Sy, Sz.

Тогда можно найти парные коэффициенты корреляции Rxy, Rxz, Ryz по приведенной выше формуле. Но этого явно недостаточно - ведь мы на каждом из трех этапов попросту забывали о наличии третьей случайной величины! Поэтому в случаях множественного корреляционного анализа иногда требуется отыскивать т. н. частные коэффициенты корреляции — например, оценка виляния Z на связь между X и Y производится с помощью коэффициента

Rxy.z = {2 - 13}

И, наконец, можно поставить вопрос — а какова связь между данной СВ и совокупностью остальных? Ответ на такие вопросы дают коэффициенты множественной корреляции Rx.yz, Ry.zx, Rz.xy, формулы для вычисления которых построены по тем же принципам — учету связи одной из величин со всеми остальными в совокупности.

На сложности вычислений всех описанных показателей корреляционных связей можно не обращать особого внимания - программы для их расчета достаточно просты и имеются в готовом виде во многих ППП современных компьютеров.

Достаточно понять главное — если при формальном описании элемента сложной системы, совокупности таких элементов в виде подсистемы или, наконец, системы в целом, мы рассматриваем связи между отдельными ее частями, — то степень тесноты этой связи в виде влияния одной СВ на другую можно и нужно оценивать на уровне корреляции.


В заключение заметим еще одно — во всех случаях системного анализа на корреляционном уровне обе случайные величины при парной корреляции или все при множественной считаются "равноправными" — т. е. речь идет о взаимном влиянии СВ друг на друга.

Так бывает далеко не всегда - очень часто вопрос о связях Y и X ставится в иной плоскости — одна из величин является зависимой (функцией) от другой (аргумента).


Линейная регрессия

В тех случаях, когда из природы процессов в системе или из данных наблюдений над ней следует вывод о нормальном законе распределения двух СВ - Y и X, из которых одна является независимой, т. е. Y является функцией X, то возникает соблазн определить такую зависимость “формульно”, аналитически.

В случае успеха нам будет намного проще вести системный анализ — особенно для элементов системы типа "вход-выход”. Конечно, наиболее заманчивой является перспектива линейной зависимости типа Y = a + b·X .

Подобная задача носит название задачи регрессионного анализа и предполагает следующий способ решения.

Выдвигается следующая гипотеза:

H0: случайная величина Y при фиксированном значении величины X распределена нормально с математическим ожиданием

My = a + b·X и дисперсией Dy, не зависящей от X. {2 - 14}

При наличии результатов наблюдений над парами Xi и Yi предварительно вычисляются средние значения My и Mx, а затем производится оценка коэффициента b в виде

b = = Rxy {2 - 15}

что следует из определения коэффициента корреляции {2 - 11}.

После этого вычисляется оценка для a в виде

a = My - bMX {2 - 16}

и производится проверка значимости полученных результатов. Таким образом, регрессионный анализ является мощным, хотя и далеко не всегда допустимым расширением корреляционного анализа, решая всё ту же задачу оценки связей в сложной системе.


Элементы теории статистических решений

Что такое - статистическое решение? В качестве простейшего примера рассмотрим ситуацию, в которой вам предлагают сыграть в

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: