Решение обратных задач теплопроводности для элементов конструкций простой геометрической формы
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ДНЕПРОПЕТРОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ПГД И ТМО
НА ТЕМУ: «РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПРОСТОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКО ФОРМЫ»
ВЫПОЛНИЛА: СТ. ГР. МТ-98-1
ДАЦЕНКО И. Н.
ДНЕПРОПЕТРОВСК
-2001-
Постановки задач о теплообмене между твердым телом или некоторой системой и окружающей средой рассматриваются с точки зрения соотношений причина—следствие. При этом к причинным характеристикам теплообменного процесса в теле (системе) в соответствии с принятой моделью отнесем граничные условия и их параметры, начальные условия, теплофизические свойства, внутренние источники тепла и проводимости, а также геометрические характеристики тела или системы. Тогда следствием будет то или иное тепловое состояние, определяемое температурным полем исследуемого объекта.
Установление причинно - следственных связей составляет цель прямых задач теплообмена. Наоборот, если по определенной информации о температурном поле требуется восстановить причинные характеристики, то имеем ту или иную постановку обратной задачи теплообмена.
Постановки обратных задач, в отличие от прямых, не соответствуют физически реализуемым событиям. Например, нельзя обратить ход теплообменного процесса и тем более изменить течение времени. Таким образом, можно говорить о физической некорректности постановки обратной задачи. Естественно, что при математической формализации она проявляется уже как математическая некорректность (чаще всего неустойчивость решения) и обратные задачи представляют собой типичный пример некорректно поставленных задач в теории теплообмена.
Граничная ОЗТ — восстановление тепловых условий на границе тела. К этому типу задач отнесем также задачу, связанную с продолжением решения уравнения теплопроводности от некоторой границы, где одновременно заданы температура Т( х*, т) и плотность теплового потока q( х*, т);
Организация
охлаждения
конструкции
камер сгорания
является одним
из важнейших
вопросов
проектирования
и по сравнению
с другими типами
тепловых машин
усложняется
тем, что тепловые
процессы протекают
при высоких
температурах
К
и давлениях.
Так как высокотемпературные
продукты сгорания
движутся по
камере с очень
большой скоростью,
то резко возрастают
коэффициент
конвективной
теплоотдачи
от горячих
продуктов
сгорания к
стенкам камеры
и конвективные
тепловые потоки
,
доходящие в
критическом
сечении сопла
до 23,26 - 69,78
.
Кроме того,
теплообмен
в конструкции
характеризуется
высоким уровнем
радиации в
камере, что
приводит к
большим лучистым
тепловым потокам
/13/.
Вследствие
мощных суммарных
конвективных
и лучистых
тепловых потоков
в стенке камеры
температура
ее может достигать
значений превышающих
(1000 - 1500С.
Величина этих
потоков определяется
значениями
режимных параметров,
составом продуктов
сгорания в ядре
газового потока
и в пристеночном
слое, а также
температурой
внутренней
поверхности
конструкции.
Из-за изменения
диаметра проточной
части по длине
теплопровод
от продуктов
сгорания оказывается
неравномерным.
Неравномерным
является также
распределение
температуры
по периметру,
обусловленное
изменением
состава продуктов
сгорания.
Коэффициент теплоотдачи от продуктов сгорания определяется с учетом совместного воздействия конвективного и лучистого теплового потоков в соответствующем сечении конструкции узла по значениям параметров (давление, состав и температура продуктов сгорания в ядре газового потока и в пристеночном слое) на установившемся режиме эксплуатации /13/.
Время выхода рассматриваемых конструкций на установившийся тепловой режим соизмеримо и может оказаться даже большим времени их работы при эксплуатации. В этих условиях задача определения теплового состояния в период работы сводится к расчету прогрева их под воздействием высокотемпературных продуктов сгорания /1, 2/.
Рассмотрим следующую схему корпуса камеры сгорания.
На поверхности в сечении располагается по две точки замера, расположенных в диаметрально противоположных точках периметра корпуса.
В сечении I - I корпуса сопла можно представить в виде однослойной неограниченной пластины, двухслойной - сечение II - II (Рис.1).
Расчетные
схемы элементов
конструкции
представлены
на рисунке 2
и 3.
Обратная
тепловая задача
для пластины
формулируется
следующим
образом. Требуется
по замерам
температуры
и теплового
потока
к пластине
(рис.2) при X = 0 найти
изменения
температуры
и теплового
потока на поверхности
X = 1.
Решение
обратной тепловой
задачи в такой
постановке
целесообразно
построить с
использованием
решения задачи
Коши /3/.
В
пространстве
переменных
задана некоторая
гладкая поверхность
Г. С каждой точкой
связывается
некоторое
направление
,
некасательное
Г.
В окрестности
поверхности
Г требуется
найти решение
уравнения.
удовлетворяющего
условиям Коши
где
- безразмерные
время и координата.
Нетрудно убедиться, что решение задачи (1), (2), записанное в виде:
(3)
и является искомым /10/.
Утверждения о существовании решения (3), об аналитичности этого решения и его единственности в классе аналитических функций составляют содержание известной классической теоремы Коши - Ковалевской /11/.
Решение
(13) при заданных
и
позволяет
найти искомые
изменения
температуры
и теплового
потока
Однако в такой
интерпретации
решения (3), где
функции
известны из
эксперимента
с некоторой
заданной
погрешностью,
необходимо
учитывать и
тот факт, что
вычисление
операторов
дифференцирования
неустойчиво
к возмущениям
в исходных
данных /12/.
Таким образом, имеем типичную некорректную задачу, для построения устойчивого решения которой необходимо построение регуляризирующих алгоритмов.
Сохраним в решении (3) конечное число слагаемых N. Введем обозначения
(4)
Интегрируя (4) получим систему интегральных уравнений Вольтерра первого рода:
,
(5)
где k =1, 2, ... , N.
Соотношения для теплового потока в (3) записывается аналогично. В дальнейшем будем считать, что на поверхности X = 0 теплосъем отсутствует, то есть стенка теплоизолирована. Тогда решение (3) с учетом обозначений (4) записывается в виде
(6)
Таким
образом, граничные
условия при
X = 1 восстанавливаются
соотношением
(6), в котором
функции
находятся из
решения интегральных
уравнений (5)
(7)
где правая часть задается приближенно, то есть
Здесь
- числовой параметр,
характеризующий
погрешность
правой части
уравнения (7).
Задача (7) является, в общем случаи некорректно поставленной /12/. Наиболее распространенным в настоящее время эффективным регуляризующим алгоритмом для ее решения является алгоритм, основанный на минимизации функционала А.Н.Тихонова /12/.
(8)
С
последующим
выбором параметра
регуляризации
по так называемому
принципу невязки.
Например,
если
- какая - либо
экстремаль
функционала
(8), реализующая
его глобальный
минимум при
заданном
и фиксированном
,
то